时间序列笔记-平稳过程

笔记说明

在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“Introduction to Time Series Analysis”课程 做的对应笔记。
学识有限,错误难免,还请不吝赐教。

目录

  • 平稳过程(Stationary Processes)
  • 强平稳性(Strict Stationarity)
  • 弱平稳性(Weak Stationarity)
  • Stationarity: When?

平稳过程(Stationary Processes)

在建立时间序列模型时为达到简约性(parsimony)(平稳过程可以用更少的参数建模),通常会及假定时间序列具有平稳性(stationarity)。

平稳的时间序列数据看起来:

  • 随机波动
  • 同样的随机行为会从一个时间段延续到下一个时间段
    (某时段的各数据值可能和上一时段很不一样。但是均值、标准差及其他统计性质与前一时段相似)

强平稳性(Strict Stationarity)

A process is strictly stationary if all aspects of its probabilistic
behavior are unchanged by shifts in time.

数学表述:对于所有m,n,

  • (Y_1,...,Y_n)(Y_{1+m},...Y_{n+m})具有相同的联合分布;
  • n个序列的联合分布并不依赖于之前(前1个或多个)序列。

强平稳性是一个非常强的假设,通常是不必要的。

弱平稳性(Weak Stationarity)

A process is weakly stationary if its mean, variance, and covarianceare unchanged by time shifts.

满足以下条件的Y_1,Y_2,...是弱平稳过程:

  • E(Y_t)=μ
  • Var(Y_t)=σ^2
  • Cov(Y_t,Y_s)=γ(|t-s|)
    (对于所有t、s,某函数γ(h)μ,σ为常数)

弱平稳也被称为协方差平稳(covariance stationary)

  • 均值和方差不随时间变化
  • 两个观测间的协方差只与这两个观测的lag,即时间间距|t-s|有关,而并不与具体t或s的值直接相关

Stationarity: When?

很多金融时间序列数据并不具有平稳性,但是:

  • 金融序列数据的差分通常是近似平稳的
  • 平稳的时间序列应该会在某固定值附近随机震荡,该现象称为均值回归(mean-reversion)
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