1.基本介绍
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618
2. 斐波那契(黄金分割法)原理
斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列）
image.png
对F(k-1)-1的理解:
由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1
类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。
while(n>fib(k)-1)
k++;
3.应用案例
请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。
import java.util.Arrays;
/**
* @author xuyuyong
* @create 2021-05-07 18:02
* @content
*/
public class FibonacciSearch {
public static int maxSize = 20;
public static void main(String[] args) {
int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));
}
/**
* 因为后面我们 mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
* 非递归方法得到一个斐波那契数列
*/
public static int[] fib() {
int[] f = new int[maxSize];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f;
}
/**
* 编写斐波那契查找算法
* 使用非递归的方式编写算法
* @param a 数组
* @param key 我们需要查找的关键码(值)
* @return 返回对应的下标, 如果没有 -1
*/
public static int fibSearch(int[] a, int key) {
int low = 0;
int high = a.length - 1;
//表示斐波那契分割数值的下标
int k = 0;
//存放mid值
int mid = 0;
//获取到 斐波那契 数列
int[] f = fib();
while (high > f[k] - 1) {
k ++;
}
//因为 f[k] 值 可能大于 a 的长度, 因此 我们需要使用 Arrays 类, 构造一个新的数组, 并指向temp[]
//不足的部分会使用 0 填充
int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
//实际上需求使用 a 数组最后的数填充 temp
//举例:
//temp = [1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0] => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
temp[i] = a[high];
}
// 使用 while 来循环处理, 找到我们的数 key
while (low <= high) {
mid = low + f[k - 1];
//我们应该继续向数组的前面查找(左边)
if (key < temp[mid]) {
high = mid - 1;
//why是 k-1
//说明
//1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
//2. f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
//因为 前面 f[k - 1]个元素, 所以可以继续拆分 f[k -1] = f[k - 2] + f[k - 3]
//即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
//即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
k--;
// 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
} else if ( key > temp[mid]) {
low = mid + 1;
//为什么是 k -=2
//说明
//1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
//3. 因为后面我们有 f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
//4. 即在 f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
//5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
k -= 2;
} else { //找到
//需要确定，返回的是哪个下标
if(mid <= high) {
return mid;
} else {
return high;
}
}
}
return -1;
}
}
