作者：王国波

这次讲换元法。

"换元法"中的换就是替换，元就是符号变量。

换元法的定义：在解决某些数学问题时，根据问题的特征和关系引入适当的一个或多个中间辅助变量(变元)来替换问题中的一些数学对象,例如代数式，化繁为简，使得原问题变得简单或简洁，达到转化问题的目的。

对换元法的基本介绍也可以参考百度百科上的词条：换元法。

  首先要理解为何要换元和换元的作用。

  可以用超市中的购物袋来类比，如果购买了多个琐碎的小东西不好携带，此时用一个大的购物袋囊括后就解决了，携带问题变简单了，我们在从超市回家路上，注意力转移到购物袋而不是袋中的小东西，我们面向的是购物袋，而不是袋子内部的小东西。数学中的换元法也是这样，代数式中一些数学对象的”外观”看着不顺眼，因为它的整体和它内部的细节同时呈现，复杂的细节淹没了整体，造成干扰扰乱我们的注意力，乱花渐欲迷人眼，看上去眼花缭乱，缺乏层次性，增加了问题的复杂性，妨碍解题，所以通过换元来改变问题的‘’外观”。换元法主要运用整体思想和简化思想，凸显数学对象本质的整体结构，简化表象形式，过滤掉了内部细节的干扰，化繁为简，从而将注意力聚焦于整体结构，去伪存真，而不是被内部的低层次对象和结构所干扰。它一般不会改变整体结构，改变的是问题的表象形式，通过改变表象形式，达到凸显问题本质和转化问题的功效，使问题变简单变熟悉变顺眼。

换元还涉及到一个问题，换掉哪些数学对象？从上面的讲述很容易得到识别换元目标的大原则：谁不‘’美‘’就换谁，哪里不‘’美‘’就换哪里，哪里觉得复杂就换哪里。这和家电、水电维修更换零配件一样，谁使坏就换谁，哪里坏就换哪里。“不美”、“复杂”的地方一般就是存在矛盾的地方，而换元是实现矛盾转化或改造的一种手段。

换元法在初等数学和高等数学中都有广泛的应用，很多代数题，比如方程、函数、不等式、多项式相关的题几乎都会用到换元法，再比如高等数学中的换元积分法。

换元法的类型有多种，可从不同的维度来分类。

1.按换元的具体手法来分，有整体换元、三角换元、均值换元、对称换元、和差换元、比例换元、万能换元、目标换元、参数换元等。

2.按换元的范围大小来分，有局部换元和整体换元。此整体换元和上面1.中的整体换元有不同的上下文，上面的整体换元是从整体思想的角度来分的。

3.按换元前后变量个数的变化来分，有增元换元和减元换元。例如数学思想方法揭秘-8中的第49题就利用了减元换元，经过变形和换元后，从两个变量a和b减少为一个变量。

4.按换元的方向来分，有正向换元和逆向换元。正向换元：原变量是中间变量的函数，即中间变量是函数自变量,原变量是因变量。逆向换元：中间变量是原变量的函数，原变量是自变量。

百度百科上的词条：换元法中已经有例子，这里再用几道题来举例讲解下换元法。

1）整体或局部换元法，例如数学思想方法揭秘-3-4(原创)第9题(替换为中间变量a)、数学思想方法揭秘-5(原创)中的第32题、数学思想方法揭秘-18后记3中的18.4题(替换为中间变量t)和18.5题。

2)  均值换元法，和平均数有关，例如数学思想方法揭秘-18后记3中的18.7题。换元法有多种，自然就会有疑问，它们之间的区别与联系？在什么情况下适合均值换元而不是其他类型的换元？也就是适合用均值换元的场景，这里不给答案，先自己想一想，也可在实践中总结出来。

再举一例运用均值法的高中题，和三角函数有关。

这题要发现题目中的数值特征和关系特征：不等式右边数值的平方特征、均值特征。由均值特征联想到均值换元法，这个联想也体现辩证法的普遍联系，没有这种联系就无法联想，此处的联系就是右边数值的平方根(派/4)与区间中点均值的联系，它们存在相等关系。

两变量或两端情况(例如区间左右两端)下的均值换元，均值就类似杠杠或天平中间的支点，有一种不动点、对称或平衡的中道意味。

3) 三角换元法和比例(比值)换元法

这道题的三种方法均采用换元法。

第一种方法运用整体换元法，按已知条件平方差分解因式后的结构特征(两个因式相乘)，将两个因式换成中间变量a和b，换元之后的ab=1就直观地凸显了原已知条件中存在两个因式相乘的本质特征。

第二种方法是三角换元法，用正切进行换元。对圆方程和椭圆方程，一般用正弦和余弦来进行换元，例如,则令.

对, 则令。 数学思想方法揭秘-3-5(原创)中的第14题也运用了三角换元。

第三种方法是比例换元法，令,理解成比例，就是令y/x=t，可把t看成是比值参数，和参数法有些类似。从这题的第二种方法可以得出：如果题目已知条件和结论中的代数式均为齐次，一般可用比例换元法。这题的已知条件是二次齐次式，结论也是齐次，当然已知条件和结论的次数可以不同。在分式情况下，如果分子分母的次数相同，也可考虑比例换元。

比例换元，齐次不是必须的，但齐次比较适合比例换元。对非齐次多项式，一般要求次数只有两种。存在常数项有时不便于比例换元，此时要想法对常数项进行变量化处理。

比例换元，一般要求换元后经过运算量较小的运算就能得到用比值参数表示的变量或代数式。

正如除法有一种规约化归一化的功能，比例换元也具有消元减元、归一化功能，从而简化问题。另外它也有类似参数法的解耦功能。

4) 和差换元，基于对偶思想，就是a+b、a-b这种相加相减的形式，均值换元最终也是和差换元。数学思想方法揭秘-6(原创)中的第37题，用b-c=m，b+c=n进行换元，就是和差换元，也是逆向换元。有时也会直接正向和差换元，类似

b=m+n,c=m-n。由于线性关系，正向和逆向是可以相互转化的。

5) 常数(数值)换元，从具体到抽象，从常量到变量，把题目中的数字或代数式换成符号字母(元)。数学思想方法揭秘-3-3(原创)第3题，把2017这个常数换成n就是常数换元。小学时求无限循环小数对应的有理数分式，就是用常数换元，令，也是整体换元。换元后两边乘以1000得到，。

求的值，这个式子中有无限多个5。根据辩证思维词汇表中的内容，无限和有限可以相互转化。对这种无限循环形式，根据整体思想，把这个无穷无尽的对象结构用一个符号(字母)来代替来进行换元，把它变成有限。类似西游记中的法宝乾坤袋，即便是无穷无尽的天地宇宙也可以装入一个尺寸有限的乾坤袋中，也类似我们购物时的米袋子，不关心里面有多少颗微小的米粒，更不用关心米袋子中装有多少原子电子，不考虑内部细节，只关心整体，只需要能把握有限大小的袋子。

令，这样t这个有限的符号就代表了无限多个5的结构。再根据无限循环的结构特征可得，解方程求出t。严谨的方法还要先证明这个式子的收敛性。

6) 对称换元，在原变量对称的情况下，按类似韦达定理的结构进行换元，例如

解方程.

。

令。

如果是3个未知数，那对应就用三个中间变量进行换元。

7) 倒数换元，例如解系数对称的方程 。观察方程，可发现除了二次系数，其它系数具有对称性。因为x=0不是方程的根，可以对方程两边除以后整理

为,令 ，得到关于t的一元二次方程。

8) 增量换元，利用不等和相等的辩证关系，将不等关系转化成相等，例如,或令，这里t为增量。

a>1,则令a=1+t(t>0)。例如题目中分苹果，每人至少一个,设每个人分的苹果数量为，

则可设为非负整数。

9) 万能换元法，和三角函数万能公式有关，是利用如下半角正切公式来进行换元。

10）目标换元或自身换元&对象换元

目标换元是针对所求的结论，把所求的结论当成一个整体对象进行换元。常数(数值)换元中的和就是目标换元，无限变有限，得到

。

我们在数学思想方法揭秘-1(原创)中提到的对象化&概念化思想，如下图，在实际解题时很多就是用的换元法，例如求某个代数式的最大值或最小值，运用整体换元，例如令这个代数式=a。

目标换元举例。

初中题。已知x,y均为正数，。

目标换元可简单理解为求什么换什么，本题其实是求xy，最大值是它的一个属性，所以把看成一个整体对象进行换元。

解：令

则,代入：

由韦达定理可知，上述关于x的一元二次方程，如果判别式大于等于0，则方程必有正根。

由判别式

故的最大值为。

再举一例目标换元。初中题，求。

这题在初中也有多种方法，高中还可用三角换元。

11）参数换元

有多个原变量，且原变量之间存在紧密的相互联系，当这种紧密联系有时成为解题障碍，束缚我们的手脚时，此时可通过参数换元引入中间辅助变量(参数)解耦原变量之间的联系，使原变量之间没有直接联系或联系变弱或变简单。中间变量类似几何辅助线，起到媒介桥梁的沟通作用或润滑剂或化学中的催化剂活化剂的作用，打开问题中的死结，让僵硬的关系变得有活性，能更好地发生变化反应，数学中的各种运算、变形可以和化学反应类比理解。

例如前面讲的比例换元y=tx，就是引入比例系数t这个参数构造线性关系(y和x的关系在形式上成为线性)，线性关系显然简单。

初中的等比定理证明可以理解为使用了参数换元，换的是连等式中的'等值'或相等关系。

高中圆锥曲线参数方程，也有参数换元的味道，可以理解为替换的是x和y之间的直接联系。

不要拘泥于上面列出的11种换元法，而是要紧紧抓住换元法的主要目的，就是化繁为简地进行变换变化，哪里繁，哪里不美就换哪里就变哪里，可以对已知条件中的代数式进行换元，也可对结论中的进行换元。例如有时觉得一个题目中的对数式繁琐，那就可以令进行换元或变换，将变为t。

换元法，首先要识别出需要被替换的对象，前面讲过识别换元目标的大原则，结合本系列文章所介绍的思想方法、策略和经验技巧，比如观察、矛盾分析法、关系思想。

这里再举个例子，用不等式问题讲解如何找出需要被替换的目标对象：找复杂对象、哪里复杂就换哪里、找多次重复出现的复杂对象，进行整体替换。

这道题的证明方法之一如下图，对三个分式进行换元，它们是被替换的对象，用t1、t2、t3 替换它们。

单变量换元与多变量换元。在原题中如果只有一个变量，通常情况下用单变量换元一般就可解决问题，但有时要用多变量换元。

解实数方程.

观察方程，只有一个变量,左边有一个3次根号项和一个2次根号项，两个根号形式都比较复杂，所以如果我们只换一个就会顾此失彼，首尾不能兼顾，例如只换掉，那2次根号还是复杂，所以我们引入2个变量进行换元。

令，则

将代入后再因式分解可得：。

换元法的常用类型就介绍完了，当然实际情况下可能不限于这些。

另外换元法和关系思想中的关系下钻和内涵下钻、关系增强有些联系，就是深挖数学对象之间的关系，将表面看起来关系不密切的数学对象，通过关系下钻和关系增强，让他们的关系变密切。深挖数学对象的内涵，掘地三尺，深入挖掘出数学对象的内涵，达到丰富和展开它蕴含的隐藏的内涵和价值信息。这个可体会数学思想方法揭秘-6(原创)中的第37题，也就是前面讲的和差换元。

这就是通过换元法达到下钻的效果，像钻井的钻头一样往下钻，深入挖掘出、压榨出隐藏的蕴含的关系，或者说凸显隐藏的密切关系。

在我今日头条'数学之道'上也有几道题运用了深挖蕴藏的内涵和信息的方法，这里举其中一道题来加以说明。

自己思考上图中是怎么想到要进行1-x=t的换元。换元后得到方程4和5，下一步如果想不出令m=m1m2,n=n1n2，那这题就卡在方程4、5这里，动弹不得，陷入僵局。

粗与细，整体与部分、组合与分解、表与里的辩证关系，看到方程4，要能感觉到这个式子中蕴含有精妙精微的信息，这个方程式，其中有物，其中有精，其中有信，值得深入推敲。

换元令m=m1m2 , n=n1n2，就是顺应上图方程4的结构特征中蕴含的提示信息，因形就势对m和n进行分解，挖掘和凸显表达出m和n蕴含的隐藏的内涵和信息，也顺势挖掘出t1和t2的内涵：t1=m1n1 , t2=m2n2。通过引入m1、m2、n1、n2作为中介（中间变元/中间量），穿针引线，深入挖掘，打通了t1、t2、m、n之间的隐含的内在联系，盘活打破了先前的僵局，解开了问题中的死结。

通过这篇讲解，应该能理解换元法中体现的整体思想，和数学思维中无所不在的辩证思维，因为辩证法就是变化法。

通过学习这系列文章中和今日头条"数学之道"中的思想方法和解题思维过程，要能体会到“数学是锻炼思维的体操”这句话的含义。通过学习数学来锻炼思维能力，几乎各种有助于解决问题(不限于数学问题)的思维方式和思想包括哲学思想特别是辩证法都能在实践中得到良好的体验和锻炼，没有比这种锻炼方式更绝妙更合适的了。

题外：

粗略总结下数学思维的一些原则和性质：(灵活)辩证、理性化、批判性、创新性、系统化、结构化、简单化、简洁化、直观化、形象化、形式化、抽象化等等，