《机器学习实战》第六章 支持向量机

支持向量机
优点: 泛化错误率低,计算开销不大,结果易解释。
缺点: 对参数调节和核函数的选择敏感,原始分类器不加修改仅适用于处理二类问题。
适用数据类型: 数值型和标称型数据。


一般流程:
⑴收集数据:可以使用任意方法。
(2)准备数据:需要数值型数据。
(3)分析数据:有助于可视化分隔超平面。
(4)训练算法:SVM的大部分时间都源自训练,该过程主要实现两个参数的调优。
(5)测试算法:十分简单的计算过程就可以实现。
(6)使用算法:几乎所有分类问题都可以使用SVM,值得一提的是,SVM本身是一个二类分类器,对多类问题应用SVM需要对代码做一些修改。


基于最大间隔分隔数据

几个概念:

  • 线性可分:
  • 分隔超平面: 将数据集分隔开来的 直线 -> 平面 -> 超平面,即分类的决策边界。
    • 分布在超平面一侧的所有数据都属于某个类别,而分布在另一侧的所有数据则属于另一个类别。
    • 我们希望能采用这种方式来构建分类器,即如果数据点离决策边界越远,那么其最后的预测结果也就越可信。
  • 间隔: 点到分隔面的距离。间隔应尽可能的大。
  • 支持向量: 离分隔超平面最近的那些点。

我们来要试着最大化支持向量到分隔面的距离,需要找到此问题的优化求解方法。

寻找最大间隔

分隔超平面可以写成:
w^Tx + b
点 A 到超平面的距离,即点到超平面的法线长度,为:
\frac{|w^TA + b|}{||w||}

分类器求解的优化问题

输人数据给分类器会输出一个类别标签,即用一个阶跃函数对 w^Tx + b 作用得到f(w^Tx + b). 其中当 u<0f(u)输出 -1,反之输出 +1。
为了方便数学上的处理,使用只差一个符号的 -1 和 +1 ,而不是 0 和 1。例如当计算数据点到分隔面的距离并确定分隔面的放置位置时,间隔通过 label*(w^Tx + b)来计算,如果数据点处于正方向(即+1类)并且离分隔超平面很远的位置时,w^Tx + b会是一个很大的正数,同时label*(w^Tx + b)是一个很大的正数。如果数据点处于负方向(-1类)并且离分隔超平面很远的位置时,此时由于类别标签为-1,则label*(w^Tx + b)也会是一个很大的正数。
现在的目标就是找出分类器定义中的 w 和 b,我们必须找到具有最小间隔的数据点,而这些数据点也就是前面提到的支持向量。一旦找到具有最小间隔的数据点,我们就需要对该间隔最大化。即:
arg\max_{w,b}{\{\min_n(label · (w^Tx+b)·\frac{1}{||w||})\}}
拉格朗日乘子法求解,上式转化为:
\max_\alpha[\sum_{i=1}^m\alpha-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^mlabel^{(i)}·label^{(j)}·a_i·a_j\langlex^{(i)},x^{(j)}\rangle]
s.t.\quad \alpha\geq0,\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i·lable^{(i)}=0
此时都基于数据全部线性可分 的基础上。因此引入松弛变量,来允许些数据点可以处于分隔面的错误一侧。此时约束条件变为:
s.t.\quadC\geq\alpha\geq0,\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i·lable^{(i)}=0
这里的常数 C 用于控制“最大化间隔”和“保证大部分点的函数间隔小于1.0” 这两个目标的权重。在优化算法的实现代码中,常数0是一个参数,因此我们就可以通过调节该参数得到不同的结果。
一旦求出了所有的\alpha,那么分隔超平面就可以通过这些\alpha来表达。这一结论十分直接,SVM 中的主要工作就是求解这些\alpha

SMO高效优化算法

SMO表示序列最小优化(SequentialMinimalOptimization )

  • 思想:将大优化问题分解为多个小优化问题来求解的。这些小优化问题往往很容易求解,并且对它们进行顺序求解的结果与将它们作为整体来求解的结果是完全一致的。在结果完全相同的同时,SMO算法的求解时间短很多。
  • 目标:求出一系列 alpha 和 b, 一旦求出了alpha,就很容易计算出权重向量w并得到分隔超平面。
  • 原理:每次循环中选择两个alpha进行优化处理。一旦找到一对合适的alpha,那么就增大其中一个同时减小另一个。这里所谓的“合适” 就是指两个alpha必须要符合一定的条件,条件之一就是这两个alpha必须要在间隔边界之外,而其第二个条件则是这两个alpha还没有进行过区间化处理或者不在边界上。

简化版SMO算法

同时改变两个alpha的原因:
有约束条件:
\sum\alpha_i·label^{(i)}=0
若改变一个alpha,则会不满足该约束条件。

伪代码:

创建一个alpha向量并将其初始化为0向量
当迭代次数小于最大迭代次数时:
    对数据集中的每个数据向量:
        如果该数据向量可以被优化:
            随机选择另外一个数据向量
            同时优化这两个向量
            如果两个向量都不能被优化,退出内循环

预备函数:

from numpy import *
from time import sleep

#加载数据集,得到每行的类标签和整个数据矩阵
def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

#随机选择一个整数
def selectJrand(i,m):  #1是第一个alpha的下标,m是所有alpha的数目
    j=i #we want to select any J not equal to i
    while (j==i):
        j = int(random.uniform(0,m))
    return j

#调整大于H或小于L的alpha值
def clipAlpha(aj,H,L):
    if aj > H: 
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

简单版SMO:

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    #参数分别为:数据集、类别标签、常数C、容错率、最大循环次数
    dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    b = 0; m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1)))  #先将alpha置为0
    iter0 = 0
    while (iter0 < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])#if checks if an example violates KKT conditions
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = selectJrand(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print(L==H); continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print(eta>=0); continue
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); continue
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j
                                                                        #the update is in the oppostie direction
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print(("iter0: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter0,i,alphaPairsChanged))
        if (alphaPairsChanged == 0): iter0 += 1
        else: iter0 = 0
        print (("iteration number: %d") % iter0)
    return b,alphas

main.py

import SVM
dataArr, labelArr = SVM.loadDataSet('testSet.txt')

print(labelArr)

b, alphas = SVM.smoSimple(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)
print(b)
print(alphas[alphas>0]) #观察其中大于零的数字

#了解哪些数据点是支持向量
for i in range(100):
    if alphas[i]>0.0 : print(dataArr[i],labelArr[i])

完整的SMO函数

与简单版唯一的不同就是选择alpha的方式。完整版的SMO算法应用了一些能够提速的启发方法。
SMO算法是通过一个外循环来选择第一个alpha值的,并且其选择过程会在两种方式之间进行交替:一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描,另一种方式则是在非边界alpha中实现单遍扫描。而所谓非边界3咕化指的就是那些不等于边界0或C的alpha值。对整个数据集的扫描相当容易,而实现非边界alpha值的扫描时,首先需要建立这些alpha值的列表,然后再对这个表进行遍历。同时,该步骤会跳过那些已知的不会改变的alpha值。
预备函数:

def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': K = X * A.T   #linear kernel
    elif kTup[0]=='rbf':
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
    That Kernel is not recognized')
    return K

class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # Initialize the structure with the parameters 
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #误差缓存
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
        
def calcEk(oS, k):
    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek
        
def selectJ(i, oS, Ei):         #内循环中的启发式方法
    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1,Ei]  #set valid #choose the alpha that gives the maximum delta E
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:   #loop through valid Ecache values and find the one that maximizes delta E
            if k == i: continue #don't calc for i, waste of time
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek #选择具有最大的步长j
        return maxK, Ej
    else:   #in this case (first time around) we don't have any valid eCache values
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej

#计算误差值并存人缓存当中
def updateEk(oS, k):#after any alpha has changed update the new value in the cache
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1,Ek]

完整的SMO算法:

#优化例程
def innerL(i, oS):
    Ei = calcEk(oS, i)
    if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #this has been changed from selectJrand
        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L==H: print(L==H); return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #changed for kernel
        if eta >= 0: print(eta>=0); return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        updateEk(oS, j) #added this for the Ecache
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#update i by the same amount as j
        updateEk(oS, i) #added this for the Ecache                    #the update is in the oppostie direction
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else: return 0

#外循环代码
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)):    #full Platt SMO
    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
    iter = 0
    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:   #go over all
            for i in range(oS.m):        
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print(("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:#go over non-bound (railed) alphas
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print(("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d") % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
        elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True  
        print(("iteration number: %d")% iter)
    return oS.b,oS.alphas

利用计算出的alpha值分类:

#计算w
def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
    X = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(X)
    w = zeros((n,1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
    return w

main.py

ws = SVM.calcWs(alphas, dataArr, labelArr)
print(ws)

output:

[[ 0.65307162]
 [-0.17196128]]

现在对数据进行分类处理,比如对说第一个数据点分类,在main.py中加入:

datMat = mat(dataArr)
print(datMat[0]*mat(ws)+b)

如果该值大于0,8卩么其属于1类;如果该值小于0,那么则属于-1类。

核函数

作用:将数据映射到高维空间
常用核函数:径向基函数

径向基函数

一个采用向量作为自变量的函数,能够给予向量距离运算输出一个标量。
高斯版本:

k(x,y)=exp(\frac{-||x-y||^2}{2\sigma^2})
其中,\sigma是用户定义的用于确定到达率,即函数值跌落到0的速度参数。

在训练中使用函数

核转换函数:

def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': K = X * A.T   #linear kernel
    elif kTup[0]=='rbf':
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
    else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
    That Kernel is not recognized')
    return K

class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # Initialize the structure with the parameters 
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #误差缓存
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)

在测试中使用函数

def testRbf(k1=1.3):
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')
    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #C=200 important
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]
    sVs=datMat[svInd] #get matrix of only support vectors
    labelSV = labelMat[svInd];
    print(there are %d Support Vectors)% shape(sVs)[0]
    m,n = shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print(the training error rate is: %f)% (float(errorCount)/m)
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')
    errorCount = 0
    datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
    m,n = shape(datMat)
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1    
    print(the test error rate is: %f)% (float(errorCount)/m) 

支持向量的数目存在一个最优值。8乂厘的优点在于它能对数据进行高效分类。如果支持向量太少,就可能会得到一个很差的决策边界(下个例子会说明这一点);如果支持向量太多,也就相当于每次都利用整个数据集进行分类,这种分类方法称为k近邻。

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