书名：皇帝新脑（第一推动丛书·综合系列）
作者：罗杰·彭罗斯
译者：许明贤,吴忠超
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-01-01
ISBN：9787535794444
第4章 真理、证明和洞察
- 数学的希尔伯特计划
- 形式数学系统
- 哥德尔定理
- 数学洞察
- 柏拉图主义或直觉主义
- 从图灵结果到类哥德尔定理
- 递归可列集
- 芒德布罗集是递归的吗
- 一些非递归数学的例子
- 芒德布罗集像非递归数学吗
- 复杂性理论
- 物理事物中的复杂性和可计算性
三、哥德尔定理
略
四、数学洞察
略
五、柏拉图主义或直觉主义
1、数学哲学的三个派别
- 形式主义学派
- 柏拉图主义学派
- 直觉主义
1）形式主义学派数学哲学
- 它是一种主张数学是关于形式系统的科学，数学的存在即无矛盾的数学哲学思想。
在数学哲学研究中，自称形式主义的有克里(Curry , H. )、鲁宾孙(Robinson, A.)等.
他们把数学定义为关于形式系统的科学.。
在数学本体论问题上，形式主义学派认为数学对象是一堆毫无实际内容的形式符号体系。不管从什么假设出发，只要这些假设能以符号形式明显地表示，用形式的演绎来推理，就成为数学。
形式主义学派完全否定了讨论数学本体论问题的必要性，更不承认数学对象有任何客观意义。
在数学认识论问题上，形式主义学派认为数学体系无真理性可言，只能考虑其可接受性问题。
形式主义学派把数学认识活动完全限于认识主体自身范围内，认为数学发展的主要动力是内在的原因，也就是对于要解决的问题本身的深人思考，而问题的来源如何关系不大。
形式主义学派并不赞成毫无根据的抽象和形式化公理化，而是要求解决问题，富有成果，但其所指问题绝大部分是数学自身问题。因此，形式主义学派对数学发展中经验和应用的启示不屑一顾。有的形式主义者甚至主张在数学教育中也无须引人直觉、经验和应用因素，只要把形式化的数学结构体系直接灌输给学生就可以了。
2）柏拉图主义学派数学哲学
- 柏拉图数学哲学是古希腊的一种数学哲学观，它主张数学观念是天赋的、先验的，它居于感性世界与理念世界之间，是人通往理念世界的必经阶段的数学哲学思想。
- 数学对象的客观性：
柏拉图主义认为数学的对象（如数、量、函数等）是客观存在的，它们存在于一个特殊的理念世界里，不依赖于时间、空间和人的思维。 - 柏拉图主义的观点，也就是数学真理是绝对的、外在的、永恒的，并不基于人造的判据之上；数学对象具有超越时间的自身的存在，既不依赖于人类社会，也不依赖于特定的物体。
3）直觉主义
直觉主义（或称作有限主义），它走到拒绝任何无穷集合的完整存在的另一极端。
直觉主义是1924年由荷兰数学家L . E . J．布劳威尔作为对某些（诸如罗素的）悖论的与形式主义相区别的响应而倡导的。这些悖论是由于在数学推理中太过自由地应用无穷集合所引起的。
直觉主义否认（无穷或其他）集合自身的“存在性”，而集合仅仅被当作可能确定其成员的规则。
直觉主义的一个特征是排斥“排中律”。
该定律宣称，一个陈述的否定之否定等效于该陈述。
对于直观主义者来说，“存在”的意思是“构造存在”。布劳威尔经常关心提及的一个例子是π的小数展开：3.141592653589793…。是否在这个展开的某一处存在20个接连的7的序列。
以布劳威尔的直觉主义的极端形式，他会宣称：现在断言“在π的小数展开中的某处存在20位连续的7的序列”既不是真的亦不是假的。
