《数学简史》思维导图

《数学简史：确定性的消失》

1、数学真理的起源

毕达哥拉斯学派

• 最早提出自然界的数学模式，认为“万物皆数”。
• 自然总是由四种元素组成
• 将天文学、音乐归结为数，与算术和几何并称“四大学科”
• 其理论是肤浅的
• 自然界是按数学原理构成的；数学关系决定、统一并显示了自然的秩序。

留基伯和德谟克里特

• 更加清晰地论述了原子论。世界是由无穷多个简单的、永恒的原子组成的。

柏拉图学派

• 不仅希望用数学来理解自然界，而且要用数学来取代自然界本身。

亚里士多德（B.C.384-B.C.322）

• 强调从实物中抽象出的普世的、一般的性质。
• 物理科学是基础科学，数学则从描述形式上的特征这方面来帮助研究。
• 三段演绎法

欧几里得

• 《几何原本》是他对空间几何的全部贡献

托勒密

• 三角学由喜帕恰斯（B.C.190-B.C.125）创造，经梅涅劳斯（70-130）发展，并由托勒密给出完整的、权威的描述。
• 《天文学大成》提供了第一个相当完整的证据，说明自然是一致的而且具有不变的规律。

希腊人的其他观点和贡献

• 认为宇宙是按可为人类思维所能理解的数学规律运行的
• 几乎所有希腊哲学家都宣传演绎推理是获取真理的唯一可靠方法
• 创建了力学，更加强化了“数学是洞察自然的设计的基本工具”的信念。
• 创建了光学、地理学和流体静力学。
• 对宇宙是依据数据设计的这一结论给出了充分的证明
• 建立了数学和对现代科学基础的自然设计的探讨之间的紧密联系

2、数学真理的繁荣

中世纪欧洲的学者孜孜不倦地从《启示录》和《圣经》中去寻找真理，因此没有为自然界的数学设计提出新的证据。

哥白尼（1473-153）

• 《天体运动论》形成“日心说”
• 否认基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。

开普勒（1571—1630）

• 行星运动三定律
• 否认基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。

对于哥白尼和开普勒的异议

• 地球的公转和自转不符合亚里士多德的运动理论
• 对于开普勒时代的人来说，所有对地球是在运动的科学异议都很有分量，不能视为拒绝接受真理而不予考虑。

笛卡尔（1596-1650）

• 明确指出科学的实质就是数学
• 漩涡理论，是17世纪时主要的宇宙学理论
• 机械论哲学的奠基人，提出了惯性定律。
• 把光学发展成数学科学
• 通过把自然现象归结为纯物理现象，做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。

伽利略（1564-1642）

• 废除物理解释的主张，而应去寻求数学描述。
• 不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。
• 追求描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，就在于把科学置于数学的保护之下。
• 原则：科学的任一分支都可用数学模型模仿出来。
• 在物理学中，与在数学中相反，基本原理必须来源于经验和实验。

3、科学的数学化

牛顿

• 致力于寻找能推导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理
• 将伽利略的地上物体运动定律进行普遍推广——牛顿运动三定律
• 万有引力定律解释了以前一直难以解释的海洋潮汐现象、算出了月球的质量，与惠更斯计算了地球沿着赤道的隆起度，解决了许多有关月球运动的问题。
• 将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前，放弃物理的解释，用数学概念和量化了的公式和数学推导重铸了整个17世纪的物理学。
• 正是因为在缺乏物理学解释的地方采用了数学描述，牛顿的贡献才如此无与伦比；然而对物理机制的解释的缺乏困扰着科学家们。

18世纪数学和数学科学的发展：一些全新的数学分支：微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数，不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。

• 天文学

  • 克莱罗（1713-1765）对哈雷彗星回归的预言证明了数学工作在天文学上的精确性。
  • 拉格朗日和拉普拉斯证明了人们所观测到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，因而它们的运动基本上是稳定的。（《天体力学》）
  • 威廉·赫舍尔（）于1781年发现了天王星。布瓦尔提出假设：还有一颗行星在干扰天王星的运动。人们通过计算这颗行星的大小和轨迹，试图确定这颗行星的位置，奠定了1846年海王星的发现。

• 光学

  • 牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为光是波的运动，欧拉是第一个用数学处理光振动并得出光的运动方程的人。
  • 罗伊默注意到光速是有限的
  • 牛顿发现白光是从红到紫所有颜色的光的混合物
  • 欧拉关于光学的一部三卷著作
  • 最少时间原理（费马）：光从一点到另一点的过程种，总是选择所需时间最短的路径。

• 乐音的数学描述和分析（丹尼尔·伯努利、达朗贝尔、欧拉、拉格朗日等）

• 对流体及流体中物体运动的研究（牛顿、丹尼尔·伯努利（《流体动力学》）、欧拉等）

  • 欧拉创立了可用于船舶和飞机运动的流体力学

• 最小作用原理（莫佩尔狄）：作用是质量、速度及所经距离乘积的积分，而自然界的任何改变是要使作用最小。

  • 欧拉的观点更进一步，认为所有自然现象之所以表现如此，是因为它们要使某些函数达到极大或极小。因而，基本的物理原理应包括达到极大或极小的函数。
  • 变分法（拉格朗日在欧拉基础上创立的一个数学分支）的核心
  • 汉密尔顿（1805-1865）对这个原理做了进一步的推广

4、第一场灾难：真理的丧失

越来越多自然界的真理被更有力的数学方法揭示出来

• 高斯奠定了大地测量学，并由此产生了微分几何的创造性四想。
• 柯西奠定了复变函数论
• 傅里叶发展了无穷三角级数（现称为傅里叶级数）

自然是上帝的设计这一信条正在被数学家们的工作所削弱

• 狄德罗：数学的研究主题只是毫无事实基础的规则（《自然的解释》）。

• 休谟（1711-1776）

  • 强调精神和物质都是虚幻的，否认自然法则的必然性、永恒性以及不可破坏性，也就否认了代表实在的逻辑推理结构的价值。
  • 休谟否认真理的存在，贬损了在科学和数学上付出的努力和得到的结果，还对推理本身的价值提出了质疑。

• 康德

  • 肯定所有的数学公理和定理都是真理，认为科学的世界是由一个由精神所组织和控制的，与内在的范畴，诸如空间、时间、因果以及物质等相一致的感官印象的世界。
  • 其哲学推崇理性，然而他认为理性的作用不在于对自然界的探索，而在于开发人类心智的荒芜之处。经验作为知识的必然因素而被认可，而数学就是精神的必然法则的揭示者。
  • 既有解放思想的一面，也有束缚思想的一面：强调精神能够组织经验，为创建与当时人们坚信的概念相反的概念打下了基础；坚持依照欧氏几何法则来组织空间感知，阻碍了其他观点的接受。

• 非欧几何

  • 欧几里得的平行公理不能由其他九条欧几里得的公理证明，它是独立于其他公理的。由此认识到非欧几何的存在。
  • 大约从1813年起，高斯开始发展他的非欧几何。他是第一个不仅肯定非欧几何的适用性而且认识到我们不能确信欧氏几何的真理性的人。
  • 罗巴切夫斯基和鲍耶被称为非欧几何的创立者
  • 19世纪30年代，非欧几何的适用性被认为至少是可能的。
  • 黎曼区分了空间的“无界”和“无限”，启发了双椭圆几何。
  • 1868年黎曼于1854年写就的论文的发表让许多数学家相信，非欧几何也可以是物理空间的几何，我们不能再肯定哪种几何一定是正确的，或者究竟有没有正确的。

• 四元数等新代数

  • 1843年，汉密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物——四元数。
  • 凯莱引进了矩阵
  • 格拉斯曼（1809-1877）发明了许多比四元数更一般化的代数，增添了现在称为超数的新代数中的多样性。
  • 亥姆霍兹（1821-1894）认为只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象（以棒球和化学反应为例）。因此不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。由于代数和分析是算术的延伸，它们也不是真理体系。

5、一门逻辑学科不合逻辑的发展

发现新数（无理数、负数和复数）

• 毕达哥拉斯学派发现一些无法用整数表达的比值时，感到惊讶而又迷惑。将无理数称为“不可公度比”。
• 欧多克斯把所有的量从几何角度加以考虑，如果用数字表示的话，在长度、角度、面积和体积中都会产生一些无理数，因而可用几何的方法进行处理。用几何的方法来解方程，方程的根可以看作是线段，并且回避了无理数。这一方法称为几何代数学。
• 亚历山大里亚希腊人发展的许多纯科学和应用科学中，无理数被随意地使用。
• 中世纪晚期和文艺复兴时期，欧洲人开始对无理数和负数的处理感到困惑。
• 在十六七世纪，并没有许多数学家心安理得地使用或者承认负数，更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。同时对复数缺乏清晰的认识，但实数和复数的运算步骤却得到改进和推广。
• 18世纪的人们虽然在感觉上对无理数十分明了，对其逻辑却知之甚少。仍有许多人反对负数。关于复数的意义和用途的争论也越来越尖锐。
• 欧拉证明了减-b的运算等于加b运算、(-1)*(-1)=1。
• 达朗贝尔证明了复数的所有运算的结果只能是复数。

除了整数理论外的所有的数学向几何学的转换导致了几个重大的结果：将数和几何彻底地分开；几何成为了几乎所有“严密”数学的基础。

• 亚历山大里亚人最突出的成就是由喜帕恰斯和托勒密建立的定量天文学。为了发展这门学科，它们创立了三角学。
• 海伦和丢番图将算术和代数独立处理，而不依靠几何引出或依靠几何作为逻辑基础。
• 丢番图在代数中引入了一些符号
• 丢番图代数对不定方程的解决非同寻常，现在被称为“丢番图分析”。但他只承认正的有理根，对其他所有根都置之不理。

阿拉伯人毁灭亚历山大里亚希腊文明后，印度人和阿拉伯人成为数学的执牛耳者。

• 印度人把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中，数学却取得了进展。他们所有的算术都是完全独立于几何的。
• 印度人引入了负数来表示负债
• 印度人用词的缩写和几个记号来表示运算和未知数，虽没有被广泛使用，但可以认为他们在这方面比丢番图高明些。
• 印度人的三角学依靠代数，远甚于依靠几何。
• 阿拉伯人对希腊的几何著作进行了批判性研究，但在算术和代数领域内，阿拉伯人的发展和印度人极为相似。

运用代数的逻辑问题

• 卡尔达诺的《大术》给出了如何求解三次和四次方程的方法。
• 代数体系的其他成果：数学归纳法、二项式定理、求高次或低次方程的根的近似法等。
• 韦达引入了字母系数，不仅用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数，使代数证明的普遍性成为可能。
• 笛卡尔和费马的坐标几何用方程来表示曲线，说明了在证明曲线任意多个性质方面，代数表示法要比古希腊人纯粹的几何法或综合法容易得多。
• 运用代数公式表示函数

为什么接受了代数？

• 人们凭经验地将整数和小数的运算法则运用到新数上，并以几何思想作为指导。
• 笛卡尔的解析几何使数学家们深感代数的力量
• 使用负数和无理数和在科研中运用代数产生的结果与观察和实验的结果吻合得非常好

6、不合逻辑的发展：分析的困境

以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有争议的基础之上的

微积分使用了函数的概念，因此也涉及了所有形式的实数，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。

• 牛顿广泛地使用导数，他求导数的方法基本上就是费马的方法。
• 牛顿在他关于微积分的第三篇论文“曲线求积术”中放弃了无穷小量（终极不可分量），对导数做了新的一番解释。触及了关键词“极限”，但没有深究这个概念。
• 莱布尼茨采用了“逐渐消失的量”或“无穷小量”的说法定义导数，用dy/dx表示。
• 莱布尼茨独立地发现了我们现在所说的微积分定理：可以通过求导数的逆过程求得这个积分和（即原函数）。
• 开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、詹姆斯·格雷戈里、罗贝瓦尔、惠更斯、巴罗、沃利斯等都在定义、微分计算和定积分方面做出过贡献。

微积分的严密性问题

• 18世纪的数学家们扩展了微积分理论，建立了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法及复变函数，这些统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。这些新分支的建立中引入的新概念和新方法，使微积分的严密性问题更加复杂。
• 欧拉拒绝把几何作为微积分的基础，试图纯粹形式地研究函数，否定了莱布尼茨的无穷小概念，做出了最大的努力使微积分严密化。
• 欧拉将微积分从几何学中解放出来，并将其建立在算术和代数的基础上。他对微积分的探讨是形式的，不正确的，但这至少最终为将微积分建立在数的基础上的合理性开辟了道路。
• 拉格朗日想给微积分提供类似于古人那样论证的全部的严密性，提出用无穷级数来严格地奠定微积分的基础。但除了完全不合理地使用无穷级数外，只做了一大堆代数推导。
• 吕利耶在一定程度上改进了极限的理论，第一次在印刷品上引入lim作为极限的符号，但他对极限理论的贡献是微乎其微的。

7、不合逻辑的发展：19世纪的困境

无法接受无理数、负数和复数

• 威廉·弗伦德（1757-1841）批评“方程根的个数与方程的次数相等”这一普遍规律，只接受方程的正根。
• 卡诺断言小于0的数的概念是错误的
• 柯西不同意把表达式，如a+b√-1，当作数。
• 狄摩根、汉密尔顿反对使用复数和负数
• 布尔说√-1是一个令人费解的符号，但是如果在三角学中运用它，我们就可以从可解释的表达式经过不可解释的表达式，而得到可解释的表达式。
• 高斯不愿意承认复数，直到1831年，他公开陈述了复数的几何表示，而且用几何方法实现了复数的加法和乘法，并用i代替√-1。

19世纪上半期，人们又注意到代数也缺乏逻辑基础，主要问题是字母被用来表示各类数并参与运算时，好像它们是正整数一般。

• 18(?)世纪30年代，数学家们开始着手处理用文字或符号表达式进行运算的正确性。
• 皮考克区分了算术代号和符号代数，他的论证被称为等价形式常恒原理。他特地用此原理去证明复数运算是合理的。这条原理基本上是主观推想的，它借助未必成立的假定来论证为什么不同类型的数与整数具有相同的性质。
• 蓬斯莱正确地预见了射影几何（几何学的一个新分支）的前景。为了用纯粹几何学方法“建立”结果，提出了所谓的连续性原理：如果一个图像是由另一个图形经过连续变化得出，并且后者与前者同样一般，后者拥有前者的任何性质。
• 连续性原理由于它的直观易懂还是被人们所接受，然而从数学逻辑发展角度来看，只不过是为了解决当时人们用纯推理方法不能解决的问题而提出的教条式的特设断言，是数学家们为了证明它们用正当手段不能证明的定理的一个例子。

为什么对无理数、负数、复数、代数学、微积分及其扩展的逻辑化工作会如此收效甚微？

• 无理数、负数、复数、字母运算和微积分的概念极其难以掌握。
• 数学家们没有认识到这些概念不是来自直接经验，而是心智的创作。

8、不合逻辑的发展：天堂之门

分析

• 在牛顿之后的英国人曾尝试用几何学使微积分严密化，但失败了。因此柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑。柯西同样很明智地把微积分建立在极限的概念上。
• 詹姆斯·格雷戈里以及达朗贝尔都将极限概念作为合适的基础。
• 极限的思想还出现在卡诺和吕利耶的论文中
• 柯西小心翼翼地定义和建立起微积分的基本概念：函数、极限、连续、导数和积分。他还把无穷级数分为有和的收敛级数与没有和的发散级数。
• 柯西的工作激励了其他人促使分析严密化的工作，主要成就还得归功于维尔斯特拉斯。后者的努力使分析从人们久已质疑的完全依靠运动学、直觉理解和几何概念的分析中解脱出来。

实数和复数系统

• 1837年，汉密尔顿的数偶理论为实数和复数系统提供了逻辑基础。
• 维尔斯特拉斯给出了无理数的严密定义的性质。戴德金和康托尔也在有理数性质之上正确地定义了无理数并建立了它们的性质。
• 皮亚诺借鉴了戴德金和格拉斯曼的观点，从关于正整数的公理成功地推出了有理数的结果。这样，实数和复数系统的逻辑结构已唾手可得。

欧式几何

• 在19世纪下半叶，所有基本的非欧几何的相容性问题都被解决了。

• 严密化工作只剩一个主要问题：欧氏几何的缺陷

  • 确定非定义的概念，将定义精确化，补充遗漏的公理和完成证明的工作。这些工作分别由帕施、韦罗内塞和皮耶里完成。

逻辑科学的发展

• 笛卡尔和莱布尼茨想把逻辑定律发展为一个统一的推理的科学或一个统一的推理演算方法，并且适用于所有的思维领域。

  • 三个基本元素：普遍语言+推理演算+技巧组合。在此形式上可定义其他所有概念。实际上，他们使用的逻辑原理在直觉上是合理的，但并不是准确的逻辑原理。

• 布尔1848年综述了他称之为算子演算的代数推理。其主要观点是现存的推理规则可以由符号形式来表达，这样可以使现存逻辑更加严密并促进其应用。

• 布尔引入了所谓的命题逻辑

• 狄摩根：逻辑必须处理普遍意义上的关系（《形式逻辑》）。

• 由皮尔斯（1839-1914）在他从1870年到1893年的几篇论文中发展了关系逻辑。他还引进了命题函数这一概念，使推理得以延伸到命题函数中。

• 皮尔斯引入了“量词”。区分了对所有（∀）和至少存在一个（∃）的区别。

• 弗雷格（1848-1925）继承了命题逻辑、关系命题、命题函数和量词等观念，同时引入了一个命题的叙述和判定它是真的这两者之间的区别。还将一个更广泛的蕴涵概念形式化，并称之为“实质蕴涵”。

• 弗雷格将矛盾律应用于数学中所谓的间接证明中。

• 皮亚诺创建了逻辑学家的学派

19世纪的公理化运动

• 首先是无定义概念的必要性。任何演绎系统一定包括无定义概念，且能翻译成符合公理的形式。
• 帕施提出：必须建立公理集合的相容性。
• 帕施提出：数学任一分支的公理最好是独立的。

9、天堂受阻：理性的新危机

在延伸关于数的知识的基础理论中发现了矛盾：无穷集合论

• 康托尔考虑数的集和理论时，引入了无穷集合，如所有奇数、所有有理数和所有实数的集合等。
• 康托尔将无穷集合定义为这样的集合：与其自身的一个真子集可以一一对应的集合。还定义了无穷集合大小的含义。
• 康托尔能够证明对任意一个给定的集合，总存在一个比它更大的集合。因此存在一个比最大的数还要大的超限数。
• 罗素认为康托尔解决了先前围绕着数学中关于无限的难题
• 庞加莱提出“涉己定义”：如果一个要定义的对象是用包含这个对象在内的一类对象来定义的，则这种定义是不合法的。并提议禁止使用所有的涉己定义。
• 关于选择公理是否是合理且可接受的争论在数学家们的讨论中极为盛行
• 康托尔在超限序数理论的基础上建立了超限基数理论，于1884年提出并发表了“连续统假设”。

10、逻辑主义与直觉主义

逻辑主义派

• 所有的数学都可由逻辑推导出来，要把数学奠定在逻辑的基础上，不需要任何数学公理，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延伸。

• 弗雷格发展了逻辑主义的理论，认为数学和法则是分析性的，它们是蕴涵在逻辑原理中的，而逻辑原理是先验真理。

• 罗素和怀特海希望能够避免由于定义一个包含自身在内作为一个元素的集合而引起的矛盾，引入了“类型论”，并且认为类型论避免了悖论。

  • 想要按类型论来建立数学，开展起来将极为复杂。为了避免这种复杂性，他们巧妙地引入了“约化公理”。

• 20世纪初，罗素认为所有的逻辑公理都是真理。在《数学公理》1937年的版本中，他放弃了这个观点，不再相信逻辑的原理是先验真理，也不再认为数学是先验真理。

对逻辑主义的反对意见

• 约化公理显得太任意了
• 不相信无穷公理的正确性
• 对选择公理的非议
• 假如逻辑主义的看法是正确的，那么全部数学就是一种纯形式的、逻辑演绎的科学。然而，似乎无法解释数学如何广泛表示自然现象、数的应用、空间几何、声学、电磁学以及力学的问题。
• 新的思想如何被引入数学？如果数学的内容可以全部由逻辑推出，那它这么能用于现实世界?

直觉主义派

• 创始人：克罗内克、博雷尔、勒贝格、庞加莱和巴伊雷对标准数学证明和逻辑主义的方法提出了大量的批评。
• 布劳威尔在1907年的博士论文“论数学的基础”中提出直觉主义哲学。认为数学是智力构造的一个过程，它建造自己的天地独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。
• 认为逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段。
• 对哪些逻辑原理是被允许的进行了分析，以使通常的逻辑与正确的直觉一致，并能把它正确地表达出来。
• 反对用所有元素的属性来定义集合
• 否定排中律，即认为存在既不是可以证明的，也不是不可以证明的命题。
• 重建了经典数学中的很大一部分，但进展受到了很大的限制。
• 首次严肃讨论了有关选择公理的问题并将其放到了显著的地位上

对直觉主义的反对意见

• 对错是客观决定的，而直觉主义者依靠难免会出错的人脑的自明性。
• 直觉主义与数学在自然中的应用无关，没有把数学和感知联系起来。

11、形式主义与集合论公理化基础

形式主义派

• 希尔伯特：正确的数学方法必须包括既有逻辑又有数学的概念和公理。逻辑必须研究那些包含某些超逻辑的具体概念的事物。数学不是逻辑的结果而是一种自然存在的法则。
• 元数学能利用直觉语言和必须借助于符号表示的非正式语言，解决相容性问题和完备性问题。
• 对于建立相容性有一个深思熟虑的过程，确信可以获得算术以至于全部数学的相容性。

对于形式主义的反对意见

• 罗素说形式主义理论无法将数的逻辑定义明了地与现实世界联系起来
• 罗素认为形式主义对存在性的见解是形而上的；直觉主义者也反对形式主义的存在性概念。
• 直觉主义者强调他们是依靠数学的意义来决定其正确与否的，而形式主义者（和逻辑主义者）是与理想的或是无意义的超自然世界打交道的。
• 直觉主义者认为形式化的数学没有意义

集合论公理化派

• 起源于戴德金和康托尔的工作
• 策梅洛在1908年的一篇论文中着手进行了集合论的公理化，其公理系统在1922年被弗伦克尔（1891-1965）改进。这套公理系统被称为“策梅洛-弗伦克尔系统”。
• 避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够多的性质作为分析的基础。然而集合论公理化的相容性还是没有得到证明。

对于集合论公理化派的反对意见

• 认为集合论的公理相当武断和做作，它们是为了防备悖论而被设计出来的。
• 选择公理的使用

12、灾难

哥德尔的两个断言

• 任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。

  • 哥德尔为数学概念指派自然数（哥德尔配数），表明能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理，对于证明相容性都是无能为力的。

• 哥德尔不完备性定理：如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。

  • 公理化的能力具有局限性：存在着有意义的陈述从属于公理系统，却不能在系统内部得出证明。这一结果实是对内涵公理化一个致命的打击。

• 相容性是以不完备性为代价的

1963年，科恩（1934-2007）证明了选择公理和连续统假设二者同时独立于其他策梅洛-弗伦克尔公理。意味着选择公理和连续统假设都是不可判定的。

• 避免使用选择公理和连续统假设，这将会限制一些能够证明的定理。
• 承认或者否认选择公理以及连续统假设
• 开创了数学的几个发展方向，却没能给出任何明显的理由来说明哪个更为优越。

勒文海姆-斯科伦定理：一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的，因此，数学的真理性不可能严格地与公理化一致。

• 原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。因此，无定义的概念必须以某种非预期的方式加以更改。

称为非标准分析的新系统引入了“超实数”

• 超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果，而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分。
• 重要的是它又开创了一条新的道路，以前曾被当作不合乎逻辑的和应该被摒弃的，现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而予以接受。

13、数学的孤立

数学家们开始着手纯数学问题的原因

• 认识到数学并非一个关于自然的真理体系
• 由非欧几何和四元数的发展中得出结论：没有必要去研究现实世界中的问题，认为的数学来源于人的大脑并肯定会被证明是有用的。
• 数学和自然科学的庞大体系，使得数学家们在两个领域中得心应手变得十分困难。
• 自然科学的问题很少能彻底得到解决。人们可以得到越来越好的近似解，但得不到一个最终的解答。
• 来自大学之类机构的出版成果的压力

几个现代纯数学发展方向

• 抽象化和一般化

  • 更一般的、更抽象的公式化对于应用数学的人来说，既不能提供更为有力的方法，也不能提供更深刻的见解。它是新的语言，但不是新的数学。

• 专门化

  • 问题过于狭窄，没有几个人能弄懂，因此很少提供有价值的东西

• 公理化

  • 有助于加固数学的基础，虽然并没有为解决基础问题画上句号，但一些数学家却从此开始了对新创的公理体系的细枝末节的修改。

纯数学的特征是它不具有直接或间接应用意义。纯数学的实质在于问题就是问题。

纯数学的支持者认为历史上有许多纯粹源于智力兴趣的重大创造，后来都被证明具有巨大的实用价值。这个观点是错误的。

• 希腊人在抛物线、椭圆和双曲线上的工作源于日晷的建造工作。
• 非欧几何也适用于物理空间的表达
• 群论不是独立于实际问题而产生的，源于布拉菲（1811-1863）关于晶体的研究工作。
• 那些声称是作为纯数学而创立的学科后来都被发现实为应用性学科。而且，它们都是在研究实际的物理问题或直接与物理问题有关的问题中产生的。

纯数学的支持者认为纯数学的成果具有内在美学的价值和智力的挑战性，但这些价值并未对数学主流即对自然的研究做出什么贡献。

14、数学向何处去

什么是真正的数学

• 最基本的问题是什么是证明，然后是对于这一问题不同观点的后果，在什么是合理的数学上也有些不一致。
• 关于证明的第二个问题：逻辑原理应该包括什么？逻辑本身能有多大用处这一问题也在争论之中
• 还有一个问题是存在的概念
• 什么是可接受的数学公理？

直觉 vs 证明

• 数学经过一系列伟大的直觉的进步而得以发展，这种发展后来通过不断地修正，建立起了在当时可以接受的证明。终极的证明是不存在的，新的反例总是会逐渐推翻已有的证明。
• 证明的概念不像普遍认为的那么重要，事实是：没有所谓的绝对证明或者普遍接受的证明
• 直觉在保证数学真实性上起了基础性的作用，而证明起了支撑的作用。

没有固定的、客观的、唯一的数学体系。

• 康德主义者

  • 证明的不一致和不确定性源于人类理性的限制，进一步地说，人们现有的不一致只是会被逐渐克服的暂时的障碍。
  • 数学纯粹是人类思想的产物，数学是远超出经验的发现和理性推断的束缚的某个东西。
  • 将数学的源泉归结于头脑的组织能力

• 柏拉图主义者

  • 存在一个独立于人的数学真理的客观世界，数学真理就是被发现，而不是被发明，逐步完善的不是数学，而是人类的数学知识。

• 现代主义者

  • 认为数学并非起源于头脑的形态或生理，而是源于头脑的活动，它是用发展的方式组织的。

15、自然的权威

决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础。数学在物理世界中的应用决定其“正确性”。

康德：数学并非一门独立于外部世界现象并运用于其上的学科。相反，他是我们用自己的方式构想这些现象的基础。自然世界并不是客观地呈现在我们面前，它只是建立在人的感觉基础之上的解释或构造，而数学则是组织人类感觉的主要工具。于是，自然而然地，人们用数学来描述人类已知的外部世界。

我们试图从复杂的现象中提炼出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，这种抽象化的力量是形成对自然令人惊异的数学描述的原因。

也有数学家认为数学是自主的，也就是说，无论其公理是纯推理的产物还是由经验得到的产物，在其后，数学的整个体系都是独立于经验的。

庞加莱：数学可以为符合物理现实而被创造。

希尔伯特：存在着一个客观的物理世界，人们不断的努力使数学与之相符。在应用过程中，发现数学有歪曲真相或出现明显的错误时，我们便修正数学。

概率论和统计学引出了这样一个观点：自然的行为根本不是确定的，而是相当杂乱无章的。但其中有某个最有可能的行为，平均行为，这就是我们所观察到并认为是由数学定律所决定的行为。

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