4. 频数表，直方图，概率分布曲线-2

4. 离散型变量的中间值计算

和平均值不一样，中位数表示的是排在中间的那个数。具体的求法，根据样本量分下面两种情况：

n是奇数，则中位数是第 $\frac{n+1}{2}$ 个
n是偶数，则中位数是第 $\frac{n}{2}$ 个数和第 $\frac{n}{2}+1$ 个数的和除以2。

其实不管是离散还是连续变量，肯定都是可以排出一个顺序的，所以上面的方法也适用于连续型变量的中间值计算。但是如果手上拿到的是一个频数表，比如我们回到上一篇讲到的数据chap4_1.xlsx

score离散数据频数表

对于这种数据如何求中间值呢？当然你可以按照频数一个一个写，就像这样: 4, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, ...。然后从里面找第50个（100/2）和第51个（100/2+1），两个数相加除以2。但是这么做有点笨。一般是额外再做一列累积频数。累积频数在excel里有很多计算方式，我是把score这一列升序排列，然后使用=SUMIF([score],"<="&[@score],[freq])计算累积求和。

筛选后的频数表

从这个表里可以看到直到24这个score，累积频数是50（包括这3个24，或者说，第3个24排在第50位），所以第51位就是24下面的score: 25，两个数字相加除以2，得到24.5。

顺带一提，在excel里面真想求中位数的话，正常人是使用=median()这个公式的，比如在这个工作表里，我用的是=MEDIAN(表1[score])。但是一顿乱算也很有意思呀，对吧。

5. 连续型变量的中间值计算（根据频数表）

接下来看一下怎么使用分组频数表计算中位数。看一下工作表J13
到L26这个区域。

分组频数表

对于这种频数表，显然你不能用第50位的中间值（midpoint）加上第51位的中间值，然后除以二，对吧？毕竟组的中间值不代表实际的数据。那对于这种情况应该如何求中位数呢？首先还是要借助累积频数。从表里可以看到90~95这一档结束以后，累积频数是44，而到了95~100这一档结束以后，累积频数到了64。所以我们的中位数就在95~100这一档。

在进一步讲以前，先要说明，下面这些是当你只有这么一个频数表，没有原始数据时候的做法。还是那句话，当你有原始数据的时候，正常人的做法是使用=median()这个公式。说回现在这个表，如果只有这个表，没有原始数据，那又应该怎么求中位数呢？

中位数怎么求

这个过程有那么点绕所以还是画一个图好了。因为95~100这个区组横跨了第50和第51个数，所以我们主要关注这个区组。这个区组开始以前，累积频数已经到了44。然后我们往后数20个数，就到了这个区组结束的地方。现在假设这个区组里面，各个数之间是等差分布的，于是可以有第50个数( $median$ , 也就是图中的 $x_1$ )和本组最小值 $min$ （95）之间的距离, 组距 $size$ (5)，50这个顺序号 $rank$ ，上个区组的累积频数 $cumulate$ (44)，以及本区组的频数 $freq$ (20), 由三角形底边和高等比例原则（我瞎说的名称……）这些变量有下面的关系