两部分内容：

• 介绍渐进符号
• 介绍递归及解法

渐进符号

O-notation
f(n) = O(g(n))，表示存在c > 0, n₀ > 0使得0 ≤ f(n) ≤ c·g(n )对于所有n ≥ n₀时成立。
Ex: 2n² = O(n³)。注意这里的等号是 不对称的，只能从左到右成立反之则不成立，更形象的是记做2n² ∈ O(n³)。f(n)的复杂度最多与g(n)一个数量级，即小于等于 (<=)

O当作宏（Marco）使用
A set in a formula represents an anonymous function in that set.
Ex: f(n) = n³ + O(n²), 表示f(n)主要是n³，但是还有一些n²的低阶项，也就是说存在h(n) ∈ O(n²)，使f(n) = n³ + h(n)

Ω-notation
f(n) = Ω(g(n))，表示存在c > 0, n₀ > 0使得0 ≤ c·g(n ) ≤ f(n) 对于所有n ≥ n₀时成立。
Ex: n^(1/2) = Ω(lgⁿ)，对于足够大的n，根号n是lgn的常数倍。f(n)的复杂度最少与g(n)一个数量级，即大于等于 (>=)

Θ-notation
f(n) = Θ(g(n))，表示f(n)的复杂度与g(n)的复杂度相当。
Ex: n² + O(n) = Θ(n²)。等号左右的复杂度相当

o-notation: f(n) = o(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级小（<）
ω-notation: f(n) = ω(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级大（>）

递归及解法

主要三种解递归式的方法，但是目前没有哪种通用的方式解决递归式

代换法

1. Guess the form of the solution。第一步需是猜答案。不需要完全猜出来，也不需要知道常数系数确切是多少，仅需要猜它的形式，例如n²
2. 验证这个递归式是否按照数学归纳法满足条件
3. 解除常数系数

Ex: T(n) = 4T(n/2) + n | 假设T(1) = Θ(1)
正确结果应该是n²，但是先假设T(n) = O(n³)
假设T(k) <= c·k³ | k < n
需要证明T(n) <= c·n³
T(n) = 4T(n/2) + n
>T(n) <= 4c(n/2)³ + n = (c/2)n³ + n = cn³ - ((c/2)n³ - n)
>T(n) <= cn³ | (c/2)n³ - n>0，这个不等式是有解的

证明了T(n)小于等于一个常数乘以n³，不过不是严格的上界，事实上我n²也成立。所以这并不能证明递归式的答案就是n³，这只是表示至多是O(n³)

递归树法
递归树法总是能用，它能告诉你一种直觉让你知道答案是多少，只是有些不严谨。所以用这个方法时要特别小心，不然可能会得到错的答案。基本原理是，将递归式用树形结构来解释

Ex: T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n²
T(n) = n²
          /  \
 T(n/4)  T(n/2)

展开树

主定理方法
本质上可以认为是递归树方法的一个应用，但是它更精确。不同于递归树方法有省略号有待证明，主定理方法基于一个定理（主定理）。但是主方法限制很多只能应用到特定的递归式上: T(n) = aT(n/b) + f(n) | a>=1 b>1 f(n)渐进趋正（存在n₀，当n>n₀时，f(n)>0）

主定理的三种情况和结果：

(计作 f₀)

三种情况

练习

T(n) = 4T(n/2) + n

a=4, b=2 => f₀=n², f(n)=n
存在ε>0，f(n) = O(n^2-ε)，即f(n)的增长比f₀增长慢，满足情况1
T(n) = Θ(n²)

T(n) = 4T(n/2) + n²
a=4, b=2 => f₀=n², f(n)=n²
当k=0，f(n) = Θ(n² lg⁰n)，即f(n)的增长与f₀增长同步，满足情况2
T(n) = Θ(n² lgn)

T(n) = 4T(n/2) + n³
a=4, b=2 => f₀=n², f(n)=n³
当ε=1，f(n) = Ω(n^2+ε) 并且4f(n/2) <= cf(n) [4(n/2)³ <= cn³ | c= 1/2]，即f(n)的增长比f₀增长快，同时递归中f不断变小，满足情况3
T(n) = Θ(n³)

本文图片来源：http://www.cnblogs.com/beautiful-code/p/4923638.html