求证两个空间拓扑等价，是一个几何问题，将涉及怎样造出两个空间之间具体的同胚。
求证两个空间不同胚，则是性质完全不同的另一个问题。
不可能将两个空间之间的每个映射拿来检验，断定它们不是同胚。
这时采取的办法是倚重于空间的“拓扑不变量”：
不变量可以是空间的某种几何性质，也可以是数，不如像对空间有定义的Euler数，
也可以是代数系统，比如从空间造出来的群或者环。
重要之点在于这些不变量为同胚所保持——名称正是由此得来。
如果我们怀疑两个空间不同胚，可以计算它们的不变量，一旦发现算出的答案不一样，我们的设想就得到证实。
Poincare引进一种构造，他的想法是对于每个拓扑空间对应以一个群，使得同胚的空间具有同构的群。
而且证明了道路连通的同胚空间具有同构的基本群。
