猴子偷。。。呸，猴子吃桃问题

Q：一只小猴子一天摘了许多桃子，第一天吃了一半，然后忍不住又吃了一个；第二天又吃了一半，再加上一个；后面每天都是这样吃。到第10天的时候，小猴子发现只有一个桃子了。问小猴子第一天共摘了多少个桃子。

第9天：

$(1+1)*2$

第8天：

$((1+1)*2+1)*2 = 2^3+2$

第7天：

$(((1+1)*2+1)*2+1)*2 = 2^4+2^2+2$

...

第1天就是：

$2^{10}+2^8+2^7+...+2$

那么假设猴子总共有x个桃子

$\begin{align} x &= m+m^2+m^3+...+m^n-m^{n-1}\\ \frac{x}{m} &= 1+m+m^2+...+m^{n-1}-m^{n-2}\\ x-\frac{x}{m} &= m^n-m^{n-1}-1+m^{n-2}\\ x &= m^n+\frac{(m^{n-1}-m)}{(m-1)}\\ &= 2^{10}+(2^9-2)\\ &= 1534 \end{align}$

这猴子真能吃！

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