流体力学第四章：理想流体动力学

第四章：理想流体动力学

简介：理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性（分子的上下振动、热传导）
$\mu = 0$ ,则 $\lambda=\frac{C_\nu\mu}{m}=0,T_{ij}=-p\delta _{ij}$

一、理想流体运动的基本方程和初边值条件

理想流体运动的基本方程——Euler方程

Euler方程

该方程有六个未知量，需要补充方程。
理想流体能量方程的讨论

能量方程

动能方程1

动能方程2

其中焓 $i=e+\frac{p}{\rho}$ 。
理想、常比热、完全气体、绝热运动时，沿流体质点的迹线熵不变。
能量方程 $\frac{Ds}{Dt}=0$ 。
常用理想流体动力学微分型封闭方程组

重力场中，理想常比热完全气体绝热连续流动
重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动

理想流体运动的初边值条件

初始条件：对非定常流动的 $\vec{V_0},p_0,\rho_0$
边界条件：

边界条件

二、理想流体在势力场中运动的主要性质

Kelvin定理（沿封闭流体线的环量不变定理）
理想、正压流体、在势力场中运动时，连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。
Lagrange定理（涡量不生不灭定理）
理想、正压流体、在势力场中运动时，若某一时刻连续流场无旋，则流场始终无旋。
理想、正压流体、在势力场中运动时，若某一时刻连续流场有旋，则流场始终有旋。
推论：在满足Kelvin 定理的条件下，均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。
Helmholtz定理（涡线及涡管保持定理）
理想、正压流体、在势力场中运动时，组成涡线（面）的流体质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线（面）。
理想、正压流体、在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。
涡量产生或消失的条件
只要不满足 Kelvin 定理（理想、正压流体、质量力有势、流场连续）的任何一个条件，旋涡都会产生或消失。
（1）流体的粘性（非理想流体）
（2）存在间断（非连续流场）
（3）非正压流场
（4）非有势力场
如：Kelvin-Helmholtz不稳定性

三、兰姆型方程和理想流体运动的几个积分

Lamb 型方程

Lamb型方程

其中 $\vec{V}\times\Omega$ 称为Lamb矢量。
伯努利积分
理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流线/涡线有

伯努利积分
伯努利积分总结
共同条件：理想流体+流动定常+质量力有势。

伯努利积分
Cauchy-Lagrange积分
理想、正压流体、在势力场中作无旋流动时，全流场成立
$\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla \varphi|^2+P+\Pi=C(t)$
动参考系中的 Cauchy-Lagrange 积分

四、理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质

不可压缩流体无旋流动问题的数学提法
基本方程： $\nabla ^2 \varphi =0$
边界条件：

界面条件—— $\frac{\partial F}{\partial t}+\nabla \varphi \cdot \nabla F=0$
无穷远条件—— $|x|\rightarrow \infty:\nabla \varphi=V_{\infty}$

理想、不可压缩流体、在势力场中作无旋流动问题的求解思路

由运动学条件求 $\varphi$
由 C-L 积分求 $p$

不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质
（1）连通域、单连通域、多连通域、隔面
（2）无旋流动速度势的主要性质

速度势 $\varphi_p(x)=\int_{x_0}^xV\cdot d{x}$
在单连域中速度势是单值的，故单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。
双连域的无旋流场中，任意不可缩周线上的速度环量相等（绕封闭周线一周），速度势多值。
（3）理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理
动能表达式： $T=\frac{1}{2}\rho \int_{D}|V|^2dV$
有界单连域中解的唯一性条件
在边界上给定 $\varphi$ 或在边界上给定 $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$
有界双连域中解的唯一性条件
无界单连域中解的唯一性条件
无界双连域中解的唯一性条件

不可压无旋流场的主要特性

速度势函数不能在域内有极大或极小值
速度矢量的模不能在域内达到极大值
重力场中，理想均质不可压缩无旋流场内压强不能在域内达到极小值

五、理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法

不可压无旋流动速度势的基本解

均匀流场：全场速度是常数的流场。
$\varphi = u_{\infty}x+v_{\infty}y+w_{\infty}z+C$
点源：若在流场某一点不断有流体注入流场，其体积流量为 $Q$ ，则这种流场称为点源流场， $Q$ 称为点源强度。
$\varphi = -\frac{Q}{4\pi \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}+C$
偶极子：强度相等、符号相反的两点源，若它们无限靠近时有 $\lim_{\delta l\rightarrow0}(Q\cdot \delta l)=0$ 这两个点源所构成的流场称为偶极子流场。记为 $\vec{m}$ ，其中 $m$ 称为偶极子强度，偶极子方向为由点汇指向点源。
$\varphi=-\frac{m}{4\pi} \cdot \frac{x}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}+C$
$\varphi=-\frac{m}{4\pi} \cdot \frac{\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+\gamma(z-z_0)}{(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2})^3}+C$

奇点叠加法
例：绕圆球不可压无旋流动的速度和压力分布

六、不可压缩流体二维流动的流函数及其性质

平行平面流动：流体质点在平行平面上运动，并且每一平面上流动都相同。

流函数的定义
$\nabla \cdot \vec{V}=0$
直角坐标系下： $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$
其中 $u\equiv\frac{\partial \Psi}{\partial y},v\equiv -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$
即： $\Psi=\int (\frac{\partial \Psi}{\partial y}dy+\frac{\partial \Psi}{\partial x}dx)=\int (udy-vdx)$
流函数的性质

流函数可以差一个任意常数而不影响速度场；
流函数的等值线就是流线；
通过平面上任意曲线 $MM_0$ 的体积流量等于 $M$ 点和 $M_0$ 点的流函数值之差，即： $Q=\int_{M_0}^{M} V_nds=\Psi(M)-\Psi(M_0)$
不可压缩流体平面无旋流动中，流函数的等值线与等势线正交；
若流场中不存在源和汇，则在单连域中，流函数是单值的；在双连域中档通过内边界的总流量不等于零时，流函数是多值的，但速度是连续单值的。

不可压流体平面无旋流动的流函数方程及定解条件

方程： $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial y^2}=0$
来流条件：
静止物面的不可穿透条件： $\Psi =Const$
环量条件： $\oint _{l_0}(\frac{\partial \Psi}{\partial y}dx-\frac{\partial \Psi}{\partial x}dy)=\Gamma _0$

流函数表示的基本解及叠加法

均匀流的流函数表达式
点源解的流函数表达式
偶极子的流函数表达式

七、理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法

复势
以速度势为实部、流函数为虚部组成的复函数称为复势。
$w(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y)$
复势为解析函数
速度势和流函数为调和函数，并满足Cauchy-Riemann条件
解析函数主要性质

解析函数的方向导数与求导方向无关；
解析函数的和、导数、积分是解析函数；
在全平面处处解析的函数为常数；
在有限域中（不包括 $z=0$ 的点），解析函数的一般展开式为：

复速度
以平面不可压无旋流动的速度分量组成的复函数称为复速度。
复速度与复势：
不可压缩流体平面无旋绕流问题的复势提法
现有周界为 $L$ 的平面物体，无穷远处有一 $V_{\infty}$ 速度为的理想均质不可压流体绕流此物体，求速度场。

image.png
基本流动

均匀流
平面点源 $w(z)=\frac{Q}{2\pi}\ln(z-z_0)$
推导： $V=\frac{Q}{2\pi r}=\frac{Q}{2\pi}\cdot\frac{z}{|z|^2}=\frac{Q}{2\pi}\cdot\frac{z}{z\cdot z^*},\frac{dw}{dz}=V^*=\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{1}{z}$
平面点涡 $w(z)=\frac{\Gamma}{2\pi i}\cdot \ln (z-z_0)$
点涡强度 $\Gamma=v\cdot 2\pi r$ 为速度的环量，为常值。
平面偶极子 $w(z)=-\frac{M}{2\pi}\cdot\frac{1}{z-z_0}$

圆柱的无环量绕流
圆柱的有环量绕流
平壁面镜像法和圆定理简介

平壁面镜像法

解平面不可压缩无旋绕流问题的保角映射法

最后编辑于：2019.04.10 10:40:15

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 201,312评论 5赞 473
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 84,578评论 2赞 377
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 148,337评论 0赞 333
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,134评论 1赞 272
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,161评论 5赞 363
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,303评论 1赞 280
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,761评论 3赞 393
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,421评论 0赞 256
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,609评论 1赞 295
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,450评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,504评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,194评论 3赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,760评论 3赞 303
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,836评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,066评论 1赞 257
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,612评论 2赞 348
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,178评论 2赞 341

流体力学第四章：理想流体动力学

第四章：理想流体动力学

一、理想流体运动的基本方程和初边值条件

二、理想流体在势力场中运动的主要性质

三、兰姆型方程和理想流体运动的几个积分

四、理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质

五、理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法

六、不可压缩流体二维流动的流函数及其性质

七、理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法

推荐阅读更多精彩内容