第四章:理想流体动力学
简介:理想流体是真实流体的一种近似模型,忽略粘性(分子的上下振动、热传导)
,则
一、理想流体运动的基本方程和初边值条件
-
理想流体运动的基本方程——Euler方程
该方程有六个未知量,需要补充方程。
- 理想流体能量方程的讨论
其中焓。
理想、常比热、完全气体、绝热运动时,沿流体质点的迹线熵不变。
能量方程。 - 常用理想流体动力学微分型封闭方程组
- 重力场中,理想常比热完全气体绝热连续流动
- 重力场中,理想匀质不可压缩流体的运动
- 理想流体运动的初边值条件
- 初始条件:对非定常流动的
-
边界条件:
二、理想流体在势力场中运动的主要性质
- Kelvin定理(沿封闭流体线的环量不变定理)
理想、正压流体、在势力场中运动时,连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。 - Lagrange定理(涡量不生不灭定理)
理想、正压流体、在势力场中运动时,若某一时刻连续流场无旋,则流场始终无旋。
理想、正压流体、在势力场中运动时,若某一时刻连续流场有旋,则流场始终有旋。
推论:在满足Kelvin 定理的条件下,均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场;由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。 - Helmholtz定理(涡线及涡管保持定理)
理想、正压流体、在势力场中运动时,组成涡线(面)的流体 质点永远组成此涡线(面),即涡线(面)是流体线(面)。
理想、正压流体、在势力场中运动时,组成涡管的流体质点永 远组成此涡管,且涡管强度不随时间变化。 - 涡量产生或消失的条件
只要不满足 Kelvin 定理(理想、正压流体、质量力有势、流场连续)的任何一个条件,旋涡都会产生或消失。
(1)流体的粘性(非理想流体)
(2)存在间断(非连续流场)
(3)非正压流场
(4)非有势力场
如:Kelvin-Helmholtz不稳定性
三、兰姆型方程和理想流体运动的几个积分
- Lamb 型方程
其中称为Lamb矢量。 -
伯努利积分
理想正压流体在势力场中作定常流动时,沿流线/涡线有
-
伯努利积分总结
共同条件:理想流体+流动定常+质量力有势。
- Cauchy-Lagrange积分
理想、正压流体、在势力场中作无旋流动时,全流场成立
- 动参考系中的 Cauchy-Lagrange 积分
四、理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质
- 不可压缩流体无旋流动问题的数学提法
基本方程:
边界条件:
- 界面条件——
- 无穷远条件——
- 理想、不可压缩流体、在势力场中作无旋流动问题的求解思路
- 由运动学条件求
- 由 C-L 积分求
- 不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质
(1)连通域、单连通域、多连通域、隔面
(2)无旋流动速度势的主要性质
- 速度势
- 在单连域中速度势是单值的,故单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。
- 双连域的无旋流场中,任意不可缩周线上的速度环量相 等(绕封闭周线一周),速度势多值。
(3)理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理
动能表达式: - 有界单连域中解的唯一性条件
在边界上给定或在边界上给定 - 有界双连域中解的唯一性条件
- 无界单连域中解的唯一性条件
- 无界双连域中解的唯一性条件
- 不可压无旋流场的主要特性
- 速度势函数不能在域内有极大或极小值
- 速度矢量的模不能在域内达到极大值
- 重力场中,理想均质不可压缩无旋流场内压强不能在域内达到极小值
五、理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法
- 不可压无旋流动速度势的基本解
- 均匀流场:全场速度是常数的流场。
- 点源:若在流场某一点不断有流体注入流场,其体积流量为,则这种流场称为点源流场,称为点源强度。
- 偶极子:强度相等、符号相反的两点源,若它们无限靠近时有这两个点源所构成的流场称为偶极子流场。记为,其中称为偶极子强度,偶极子方向为由点汇指向点源。
- 奇点叠加法
例:绕圆球不可压无旋流动的速度和压力分布
六、不可压缩流体二维流动的流函数及其性质
平行平面流动:流体质点在平行平面上运动, 并且每一平面上流动都相同。
- 流函数的定义
直角坐标系下:
其中
即: - 流函数的性质
- 流函数可以差一个任意常数而不影响速度场;
- 流函数的等值线就是流线;
- 通过平面上任意曲线的体积流量等于点和点的流函数值之差,即:
- 不可压缩流体平面无旋流动中,流函数的等值线与等势线正交;
- 若流场中不存在源和汇,则在单连域中,流函数是单值的;在双连域中档通过内边界的总流量不等于零时,流函数是多值的,但速度是连续单值的。
- 不可压流体平面无旋流动的流函数方程及定解条件
- 方程:
- 来流条件:
- 静止物面的不可穿透条件:
- 环量条件:
- 流函数表示的基本解及叠加法
- 均匀流的流函数表达式
- 点源解的流函数表达式
- 偶极子的流函数表达式
七、理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
- 复势
以速度势为实部、流函数为虚部组成的复函数称为复势。
- 复势为解析函数
速度势和流函数为调和函数,并满足Cauchy-Riemann条件 - 解析函数主要性质
- 解析函数的方向导数与求导方向无关;
- 解析函数的和、导数、积分是解析函数;
- 在全平面处处解析的函数为常数;
- 在有限域中(不包括的点),解析函数的一般展开式为:
- 复速度
以平面不可压无旋流动的速度分量组成的复函数称为复速度。
复速度与复势: - 不可压缩流体平面无旋绕流问题的复势提法
现有周界为的平面物体,无穷远处有一速度为 的理想均质不可压流体绕流此 物体 ,求速度场。
- 基本流动
- 均匀流
- 平面点源
推导: - 平面点涡
点涡强度为速度的环量,为常值。 - 平面偶极子
- 圆柱的无环量绕流
- 圆柱的有环量绕流
- 平壁面镜像法和圆定理简介
- 平壁面镜像法
- 解平面不可压缩无旋绕流问题的保角映射法