关注数学素养，用数学语言表达世界
——数学核心素养在“运算律”教学中的培养
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应学生个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析六个核心素养。
六个核心素养并非相互分离，而是密切联系，融为一体的。数学来自于生活，又实践于生活。数学教学的使命，就是让我们每一个参与学习的人，最终达到，学会用数学的眼光认识世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界。
用数学的眼光认识世界，离不开“数学抽象”和“直观想象”；用数学的思维理解世界，离不开“逻辑推理”和“数学运算”；用数学的语言表达世界，离不开“数学建模”和“数据分析”。
最近在教学“运算律”，包括加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律。现结合在运算律教学中如何培养学生核心素养谈谈自己的粗浅的思考。
一、数学抽象和直观想象素养的培养
我们使用的教材是北师大版。运算律教学安排在四年级上册后半学期开始部分。从它在教材中所处的位置来看，运算律就是本册教材中最重要的部分。
“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。“数学抽象”是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
“直观想象”是“数学抽象”的基础，是“数学抽象”的起始阶段，也是一种“数学抽象”。也是构建与形成其他数学核心素养的重要基础。
纵观教材上的每一个运算律教学安排，都是提供情境图或者现实背景图，让学生在现实背景中理解数量之间的关系。这就是巩固孩子的直观想象能力，也是进一步促进直观想象能力的发展。直观想象素养是孩子最基本的数学素养。
例如：在加法结合律教材编排中，提供了两副情境图。以图一为例，画面呈现是小猴、松鼠、机灵狗，在果园里分别摘桃30个、梨40个和苹果50个。算式：(30+40)+50与30+(40+50)分别表示什么？由于孩子具备了一定的直观想象能力与生活经验，于是能够比较容易的叙述算式所表达的意义。即使少数同学语言表达有所欠缺，但是也能够做到心领神会。
第一个算式所表达的含义是：先算桃和梨一共有多少个？然后桃与梨的个数，再加上苹果的个数，最后一共有多少个？第二个算式所表达的含义是：先算梨和苹果一共有多少个？然后再用桃的个数加上，梨和苹果的总数，最后一共是多少个？通过直观想象，孩子不难发现：虽然他们算的顺序有所不同，但是他们最终都是算了桃、梨和苹果三种水果一共有多少个？所以最后的结果一定是相等的。在此教学过程当中，直观想象能力起到了重要作用，同时也得到了进一步的发展。
在此基础上引入字母表示数。用式子：（a+b）+c=a+（b+c），表示加法结合律，清晰明了，表达准确。虽然之前一至三年级从来没有学习过用字母表示数，但是孩子们掌握了一定的生活经验，对字母abc也非常熟悉，只需要告诉孩子用字母代表数，于是孩子们就能够理解式子所表达的含义。
在这一教学过程当中，孩子数学抽象的能力得到两次锻炼培养。首先是舍去情境，抽象出数字，从而用式子表示，用数学语言表达在此情境中所进行的数学运算与数学活动。其次，从具体的数字当中又抽象出字母。用含字母的式子来表示数量之间的一种运算关系与运算顺序。这种抽象已经脱离了具体的数字，它可以代表另一数字，他所表达的是数量之间的一种恒定的运算关系，即某种运算律。孩子数学抽象素养在此得到了充分的训练与发展。
二、逻辑推理和数学运算素养的培养
“数学运算”是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。“逻辑推理”是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎。
数学运算也是一种逻辑推理，数学运算为逻辑推理提供了一种载体与操作方式。数学运算与逻辑推理，是在直观想象与数学抽象的基础上，对指向对象进行的一种更高层次的数学思考与数学思维。
在加法结合律和乘法结合律的教学当中，数学运算能力可以得到很好的训练与发展，同是也可以提高学生的数感能力。学习运算律，最终目的是提高运算能力，让我们能够尽可能进行简便运算。所以在此部分内容教学当中，数学运算可以得到淋漓尽致的展现。
例如教材52页：怎样计算简便？想一想，算一算。
57+288+43=□
在这一题当中，就是要求学生要能够敏锐的发现57和43相加刚好是一百，这既是对学生数感的一次培养，也是对学生进行数学运算素养的训练。
又如教材54页：怎样计算简便？想一想，算一算。
125×9×8=□
在这一题当中，同样需要孩子观察算式中运算符号和数的特点。通过这题的训练，让孩子明白，125×8等于1000，可以先算，有利简便运算。在后续的训练题当中，要让孩子明白25×4等于100，50×2等于100，25×8等于200，125×4等于500。在这些训练当中，孩子的数感得到增强，运算能力得到大幅度的提升。
在“加法交换律和乘法交换律”、“加法结合律”和“乘法结合律”三节教学内容安排中的第一个环节，都是“观察下面的式子，你能照样子再写一组吗？说说你发现了什么。”在这一环节教学过程当中，孩子的类比能力的培养，得到充分的训练与培养。这是从特殊到特殊的逻辑推理。第二环节是借助情景或现实背景，理解式子成立的合理性与正确性。在第三环节当中，引入字母表示数，在数学抽象的基础下，再次运用归纳推理，从特殊到一般，将逻辑推理素养的训练落到实处。
教材55页第五题：淘气是这样计算24×25的。
24×25
=6×4×25
=6×（4×25）
=6×100
=600
（1）你能看懂吗？和同伴交流你的想法。
（2）试着运用乘法交换律和乘法结合律进行计算下面各题。
64×125 125×25×32
这一题是一个提高题。短时间之内不一定会做到每个人都会。但是这题对于培养学生的数学素养非常有用。第一小题主要是考察学生的数感及数学运算素养。第二小题就是重点培养孩子的类比推理能力。在前面学习当中，当孩子有了125×8等于1000，25×4等于100的数感的前提条件下，然后再在已知运算题的，类比推理下，发现第一道题，64可以拆成8×8，并且8和125相乘，刚好是一千。第二道题，32可以拆成4×8，4和25相乘刚好是100，8和125相乘刚好是1000，问题迎刃而解。这是数学运算和逻辑推理素养训练的最佳契机。
三、数学建模和数学分析素养的一样
“数据分析”是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据娃行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。主要包括：收集数据，整理数据，提职信息，构建模型，进行推断，获得结论。“数学建模”是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与与法构建模型解法问题的素养。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学分析也是一种数学建模，他为数学建模提供了更为基础的素材与思维方式。数学分析的基础，来源于直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，同时也为数学建模，铺设了更好的平台，最终让我们学会用数学的语言来表达世界。
乘法分配律，在这五个运算律当中是最难掌握的一个定律。教材以实际生活中的事例进行引入，通过两种不同的观测角度计算出一共贴了多少块瓷砖？让学生领悟到不同的算式，只是不同的观察角度，所带来了不同的思维方式。而思维的最终结果是计算贴了多少块瓷砖，所指向的目的是一致的，是等值的。从而得出这样的两个式子相等。顺势进行数学抽象和归纳推理，得出乘法分配律。为了让这一结果深入孩子心里。教材引用了现实背景进行进一步的验证，并且进行了算理上的推导。这一推导事实上是，乘法分配律逆运算的推导。正如小学一年级，学习减法是利用加法理解进行学习的。
乘法分配律的应用，更多的有赖于学生数据分析的素养。例如教材57页：观察34×72+34×28的特点并计算。
此题教学重点就是培养孩子的数据分析能力与素养。让孩子通过观察发现，两个乘法算式中都有34。在此基础上明白：表示72个34，加上28个34，一共有100个34。通过数据分析，让学生明白这个式子符合乘法分配律的特征，从而运用乘法分配律的逆运算进行计算。
再如教材58页第5题：妈妈给淘气订了一套可以自由组合的小柜子，每个小柜子18元，柜门上每张贴画2元，算一算，这套小柜子一共花了多少元？
题目右侧配图6个小柜子。按照惯常的分类思想，孩子们可以容易的列出算式：18×6+2×6。这一算式的算理是非常简单的，也是孩子们很容易接受的。在这一题的教学当中，有必要培养孩子的数据分析素养。首先从膳食的角度来看，两个乘法中都有一个相同数6。于是可以引导孩子通过乘法分配律，得出（18+2）×6。其次，可以引导孩子直接观察图。通过分析数据得出，每个小柜子18元，柜子上的贴画2元，也就是说，每个小柜子连同门上的贴画一共20元。一共有这样的六个柜子。这样的话可以直接得出算式：（18+2）×6。
在五个运算律当中，加法交换律，和乘法交换律，由于孩子在过去的学习当中，有了充分的学习体验。因此掌握起来没有难度。加法结合律和乘法结合律的熟练运用，有赖于运算能力的提升，尤其是数感的能力，发挥着重要的作用。“凑整”是思维的核心。乘法分配律掌握是有一定难度的，需要一定量的训练。
在训练到一定程度的时候，可以让孩子形成数学建模的思想。当然孩子没必要了解建模的概念。当孩子面对一个加法将两个乘法算式连接起来的时候，要有一个敏感度。当这两个乘法算式当中，有一个相同的乘数时，就满足使用乘法分配律的条件，可以运用乘法分配律的逆运算进行简便运算。
又如在教材58页第6题：我们经常用竖式来计算多位数乘法。
（1）你能结合乘法分配律解释其中的道理吗？
26
× 21
————
26
52
————
546
实际上是把21分成20+1进行计算的。
26×21
=26×（1+20）
=26×1+26×20
=26+520
=546
（2）尝试运用乘法分配律计算下面各题。
58×11 47×102
在这一题的教学当中，可以引导孩子充分的体验，对比，联系，想象，从而建立一种更高级形式的乘法分配律的模型。然后再把这种模型应用于两数相乘的乘法算式当中。使原本需要列竖式解决的乘法算式，能够直接采用乘法分配律通过递等式计算，直接写出答案，达到简便运算的效果。
数学建模，在各种数学核心素养里面是层级最高的素养。数学素养与数学能力历经直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，数据分析，最终形成数学建模，达到数学素养的金字塔塔尖部分。数学建模形成之后，又利用这种素养，反观我们的现实生活，指导与改善我们生活，在条件与契机允许的情况下，形成更高级的数学建模。从而让我们形成用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界的能力。
