1.3.4 概率的连续性的证明

性质1.3.7（概率的连续性）若P为事件域 $\mathscr{F}$ 上的概率，则P 既是下连续的，又是上连续的

证明：

先列出需要用到的几个公理/定理/定义

可列可加性公理

若 $A_{1},A_{2},...A_{n},...$ 互不相容，则
$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$

有限可加性

若有限个事件 $A_{1},A_{2},...A_{n}$ 互不相容，则有
$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})$

极限事件定义

对 $\mathscr{F}$ 中任一单调不减的事件序列 $F_{1}\subset F_{2}\subset ...\subset F_{n}\subset ...$ ，称可列并 $\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{n}$ 为 $\{F_{n}\}$ 的极限事件，记为
$\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}$ ...........................................................................1.3.U1
对 $\mathscr{F}$ 中任一单调不增的事件序列 $E_{1}\supset E_{2}\supset ...\supset E_{n}\supset ...$ ，称可列并 $\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{n}$ 为 $\{E_{n}\}$ 的极限事件，记为
$\lim_{n \to \infty}E_{n}=\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i}$ ...........................................................................1.3.U1

下连续的定义

$\mathscr{F}$ 中任一单调不减的事件序列 $\{F_{n}\}$ ，下面等式均成立
$\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})$ .........................................................1.3.U2
则称概率P是下连续的

上连续的定义

$\mathscr{F}$ 中任一单调不增的事件序列 $\{E_{n}\}$ ，下面等式均成立
$\lim_{n \to \infty}P(E_{n})=P(\lim_{n \to \infty}E_{n})$ .........................................................1.3.U3
则称概率P是上连续的

德摩根公式（事件的运算性质4.对偶律）

事件并的对立等于对立的交： $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
事件交的对立等于对立的并： $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

先证明P的下连续性，

1)先设 $\{F_{n}\}$ 是 $\mathscr{F}$ 中一个单调不减的事件序列，即
$\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}$

2) $\because$ 1.3.U2 & 1.3.U1
证 $\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})$
等价于
证 $\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i})$

3)定义 $F_{0}=\varnothing$ ，则证原命题又等价于
证 $\lim_{n \to \infty}P(F_{n})= P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))$
由于 $F_{i-1} \subset F_{i}$ ，显然 $(F_{i}-F_{i-1}))$ 两两不相容
由可列可加性公理得
$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})$
$\therefore$ 证原命题等价于
证 $\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})$ ......................................1.3.U4

4) $\because\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1})$ .............1.3.U5
由有限可加性得
$\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1}) = P(\bigcup_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1})) = P(F_{n})$
代入1.3.U5得
$\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}P(F_{n})$
代入1.3.U4
$\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\lim_{n \to \infty}P(F_{n})$
左右两边相等，原命题
$\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})$
得证

再证明P的上连续性，

1)同理先设 $\left\{E_{n}\right\}$ 是 $\mathscr{F}$ 中一个单调不增的事件序列，则
$\left\{\overline{E}_{n}\right\}$ 为单调不减的事件序列，

2) $1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =\lim_{n \to \infty}P(\overline{E}_{n}) = P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n})$
由1.3.U1概率的下连续性得
$P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n}) =P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n})$

3)由德摩根公式得
$P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}})$
$\therefore 1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}}) =1-P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})$
$\therefore \lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})$

Q.E.D

最后编辑于：2019.05.14 10:59:45