◼ B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
◼ 仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？
- 1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
- 拥有二叉搜索树的一些性质
- 平衡，每个节点的所有子树高度一致
- 比较矮
m阶B树的性质（m≥2）
假设一个节点存储的元素个数为 x
根节点：1 ≤ x ≤ m − 1
非根节点：┌ m/2 ┐ − 1 ≤ x ≤m − 1
如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
根节点对应子节点个数：2 ≤ y ≤ m
非根节点对应子节点个数：┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m
➢ 比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树
➢ 比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为（2 4）树、2-3-4树
➢ 比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树
➢ 比如 m = 6，3 ≤ y ≤ 6，因此可以称为（3, 6）树
➢ 比如 m = 7，4 ≤ y ≤ 7，因此可以称为（4, 7）树
如果 m = 2，那B树就是二叉搜索树, 数据库实现中一般用(200 ~ 300)阶B树
B树 VS 二叉搜索树
- B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的
-
多代节点合并，可以获得一个超级节点
2代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
n代合并的超级节点，最多拥有 2^n个子节点（ 至少是 2^n阶B树） - m阶B树，最多需要 logm 代合并
搜索
◼ 跟二叉搜索树的搜索类似
- 先在节点内部从小到大开始搜索元素
- 如果命中，搜索结束
- 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1
添加
新添加的元素必定是添加到叶子节点
◼ 插入55
◼ 插入95
◼ 再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）
最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为：上溢（
overflow）
添加 – 上溢的解决(假设5阶)
◼ 上溢节点的元素个数必然等于
m◼ 假设上溢节点最中间元素的位置为
k将
k 位置的元素向上与父节点合并将 [
0, k-1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点这
2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）◼ 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
最极端的情况，有可能一直分裂到根节点
◼ 插入 54
删除 – 叶子节点
◼ 假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可
◼ 删除 30
删除 – 非叶子节点
◼ 假如需要删除的元素在非叶子节点中
- 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
- 再把前驱或后继元素删除
◼ 删除 60
◼ 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
真正的删除元素都是发生在叶子节点中
删除 – 下溢
◼ 删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）
叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ ≥
┌ m/2 ┐ − 1 ）这种现象称为：下溢（
underflow）
删除 – 下溢的解决
◼ 下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 − 2
◼ 如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素
将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
这种操作其实就是：旋转
◼ 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有
┌ m/2 ┐ − 1 个元素将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
合并后的节点元素个数等于
┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过m − 1这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播
示例：
◼ 删除 22 （假设这是一棵 5阶B树）
4阶B树
◼ 如果先学习4阶B树（2-3-4树），将能更好地学习理解红黑树
◼ 4阶B树的性质
p所有节点能存储的元素个数 x ：1 ≤ x ≤ 3
p所有非叶子节点的子节点个数 y ：2 ≤ y ≤ 4
