第二章 3D射影几何和变换

系列索引：MVG计算机视觉中的多视图几何
上一篇：第一章 2D射影几何和变换（下）

本章基本上分成三个部分：

2D点&2D线 到 3D点&3D面的类比扩展
3D直线表示
2D虚圆点及其对偶二次曲线在3D射影几何的对应：绝对二次曲线和绝对对偶二次曲面

2.1 2D射影几何到3D射影几何的对应

点： $(x_1,x_2,x_3)^T \Rightarrow (X_1,X_2,X_3,X_4)^T$ （当 $X_4=0$ 时表示无穷远点）

平面： $(l_1,l_2,l_3)^T \Rightarrow (\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)^T$

点在线/面上：

$l_1x_1+l_2x_2+l_3x_3=(l_1,l_2,l_3)(x_1,x_2,x_3)^T=\mathbf{l}^T\mathbf{x}=0 \\ \Downarrow \\ \pi_1X_1+\pi_2X_2+\pi_3X_3+\pi_4X_4=(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)(X_1,X_2,X_3,X_4)^T=\mathbf{\pi}^T\mathbf{X}=0$

将平面公式写成欧式几何的形式

$\mathbf{n\cdot\widetilde{X}}+d=0$

其中， $\mathbf{n}=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)^T$ ， $\mathbf{\widetilde{X}}=(X,Y,Z)^T$ ， $X_4=1$ ， $d=\pi_4$ ，则原点到此平面的距离是 $d/||\mathbf{n}||$ .

2D下两点共线，两线交点 $\Rightarrow$ 3D下三点共面，三面交点

(对偶)二次曲线/面： $(\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0,\mathbf{l}^TC^*\mathbf{l}=0)\Rightarrow(\mathbf{X}^TQ\mathbf{X}=0,\mathbf{\pi}^TQ^*\mathbf{\pi}=0)$

二次曲面自由度为9（4 $\times4$ 对称矩阵的10自由度减去一个齐次），9点确定一个二次曲面
如果矩阵 $Q$ 是奇异的，则该二次曲面是退化的
二次曲面配极：极平面 $\pi=Q\mathbf{X}$ ，当 $Q$ 为非奇异并且 $X$ 在二次曲面之外时，极平面由过 $\mathbf{X}$ 且与过 $Q$ 相切的射线组成的锥与 $Q$ 相接触的点来定义。如果 $\mathbf{X}$ 在 $Q$ 上，那么 $Q\mathbf{X}$ 是 $Q$ 在点 $\mathbf{X}$ 的切平面。
平面与二次曲面的交线是二次曲线
二次曲面的分类：

二次曲面的分类

射影变换： $(\mathbf{x}'=H\mathbf{x},\mathbf{l}'=H^{-T}\mathbf{l},C'＝H^{-T}CH^{-1},C^{*'}=HC^*H^T)\Rightarrow(\mathbf{X}'=H\mathbf{X},\mathbf{\pi}'=H^{-T}\mathbf{\pi},Q'＝H^{-T}QH^{-1},Q^{*'}=HQ^*H^T)$

参数表示：

$\mathbf{x}=\mu\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}=(\mathbf{a},\mathbf{b})(\mu,\lambda)^T \;\;\text{with}\mathbf{l^T a}=\mathbf{l^T b}=0\\ \Downarrow \\ \mathbf{X}=\mu\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}+\nu\mathbf{c}=(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})(\mu,\lambda,\nu)^T=M\mathbf{x}\;\;\text {with}\;\;\mathbf{\pi^T a}=\mathbf{\pi^T b}=\mathbf{\pi^T c}=0$

2.2 3D射影几何下的直线表示

在3D空间下，直线有4个自由度，因此应该用5维齐次矢量表示。但是5维矢量难以和点或者平面的4维矢量进行互动。在本书中有三种表示方式。

（为什么直线有4个自由度？）

方向向量
2个自由度。
方向向量即单位向量，或者任何模长的向量，有两种理解方式：

三维向量有3个自由度，因为是单位向量，所以少了一个自由度；

在球坐标系中只需两个角即可表示单位向量，不需要长度。

直线
4个自由度。首先有一个方向，这是2个自由度，以该方向为法向的过原点的面与该直线有唯一的交点，确定这个点就确定了这条直线。在平面上的点是2个自由度。

来源：https://blog.csdn.net/xhtchina/article/details/118727224

零空间与生成子空间表示

使用直线上的两个点来表示。假定 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是两个不重合的空间点，那么连接这两个点的直线由一个 $2\times4$ 矩阵 $W$ 的行的生成子空间表示。

$W=\begin{bmatrix} \mathbf{A}^T \\ \mathbf{B}^T \end{bmatrix}$

那么：

$W^T$ 的生成子空间是在直线 $\lambda\mathbf{A}+\mu\mathbf{B}$ 上的点束
W的2维右零空间的生成子空间是以直线为轴的平面束

零空间

在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核, 核空间。用集合建造符号表示为

$\text{Null}(A)=\left\{ \mathbf{v}\in V:A\mathbf{v}=\mathbf{0} \right \}$

根据对偶原理，一条直线可以由两平面交线来表示。直线可以表示为以 $\mathbf{P}^T$ 和 $\mathbf{Q}^T$ 为行组成的一个 $2\times4$ 矩阵 $W^*$ 的行的生成子空间表示。

$W^*=\begin{bmatrix} \mathbf{P}^T \\ \mathbf{Q}^T \end{bmatrix}$

那么：

$W^{*T}$ 的生成子空间是以改直线为轴的平面束 $\lambda'\mathbf{P}+\mu'\mathbf{Q}$
$W^*$ 的2维零空间的生成子空间是该直线上的约束

Plücker矩阵

连接 $AB$ 两点的 $4\times4$ 反对称矩阵

$L=\mathbf{AB}^T-\mathbf{BA}^T$

其元素为

$l_{ij}=A_iB_j-B_iA_j$

Plücker矩阵的主要性质：

$L$ 的秩为2，它的2维零空间由以该直线为轴的平面束生成
表示4个自由度（反对称矩阵6个dof，只有5个比率有意义， $\det{L}=0$ 又减去一个dof）
$L=\mathbf{AB}^T-\mathbf{BA}^T$ 是 $\mathbb{P}^2$ 中直线 $\mathbf{l}$ 的矢量积公式 $\mathbf{l}=\mathbf{x}\times\mathbf{y}$ 向4维空间的推广
矩阵L与确定它的点 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 无关
在点变换 $\mathbf{X}^{'}=H\mathbf{X}$ 下，该矩阵变换为 $L^{'}=HLH^T$

由平面 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{Q}$ 的交线确定的对偶直线Plücker矩阵为

$L^*=\mathbf{PQ}^T-\mathbf{QP}^T$

在点变换 $\mathbf{X}^{'}=H\mathbf{X}$ 下，该矩阵变换为 $L^{*'}=H^{-T}L^{*}H^{-1}$

矩阵 $L$ 和 $L^*$ 的元素关系

$l_{12}:l_{13}:l_{14}:l_{23}:l_{42}:l_{34}=l^*_{34}:l^*_{42}:l^*_{23}:l^*_{14}:l^*_{13}:l^*_{12}$

Plücker直线坐标

Plücker直线坐标就是Plücker矩阵的6个非零元素

$\mathfrak{L}=\left \{ l_{12},l_{13},l_{14},l_{23},l_{42},l_{34} \right \}$

由于 $\det L=0$ ，因此元素满足

$l_{23}l_{34}+l_{13}l_{42}+l_{14}l_{23}=0$

只有满足上式才对应3维直线。

两条直线 $\mathfrak{L}$ 和 $\mathfrak{\hat{L}}$ 共面的充要条件是 $(\mathfrak{L}|\mathfrak{\hat{L}})=l_{12}\hat{l}_{34}+\hat{l}_{12}l_{34}+l_{13}\hat{l}_{42}+\hat{l}_{13}l_{42}+l_{14}\hat{l}_{23}+\hat{l}_{14}l_{23}=0$

2.3 三次绕线

由 $\mathbb{P}^2$ 中的2D二次曲线的参数化扩展到 $\mathbb{P}^3$ 得来

2.4 变换层次

3D射影变换层次：

螺旋分解：

平面欧式变换可被视为三维欧氏变换的特例：平移向量 $\mathbf{t}$ 被限制在该平面且旋转轴垂直于该平面。

然而，在一般情况下，3D欧式变换的旋转轴和平移不垂直。通过螺旋分解可以将3D欧式变换简化到类似2D变换

结论：任何具体的平移加旋转运动都等价预绕一根螺旋轴的旋转加沿该螺旋轴的平移。该螺旋轴平行于旋转轴。平移加绕正交旋转轴的运动（称平面运动）等价于仅仅绕某螺旋轴的一个旋转。（将t分解为与旋转轴垂直和平行的两部分）

2.5 无穷远平面

3D的无穷远平面 ${\pi}_{\infty}$ 对应2D的无穷远线 $l_{\infty}$ 对应，都是用来确定仿射性质（平行）的，具体来说

两平面平行的充要条件是其交线在 ${\pi}_{\infty}$ 上
如果一条直线与另一条直线或平面交于 ${\pi}_{\infty}$ 上，则平行

对应地，在射影变换 $H$ 下，无穷远平面 ${\pi}_{\infty}$ 是不动平面的充要条件是 $H$ 是仿射变换（并非点点不动；并非唯一不动面）

2.6 绝对二次曲线

3D的绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 对应2D的虚圆点，都是用来确定角度的。对应地， $\Omega_{\infty}$ 在标准坐标下表示为
$\left.\begin{matrix}\begin{align} x_1^2+x_2^2+&x_3^2\\ &x_4 \end{align} \end{matrix}\right\}=0$
对应地，在射影变换 $H$ 下，绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 是不动二次曲线的充要条件是 $H$ 是相似变换（并非点点不动）。

所有的圆交 $\Omega_{\infty}$ 于两点，该两点为该圆支撑平面的虚圆点
所有球面交 $\pi_{\infty}$ 于 $\Omega_{\infty}$ （对应：每一圆周交 $\mathbf{l}_{\infty}$ 于虚圆点）
两条3D直线的方向分别是 $d_1$ 和 $d_2$ ，则夹角为 $\cos{\theta}=\frac{d_1^T\Omega_{\infty}d_2}{\sqrt{(d_1^T\Omega_{\infty}d_1)(d_2^T\Omega_{\infty}d_2)}}$

2.7 绝对对偶二次曲面

3D的绝对对偶二次曲面 $Q_{\infty}^*$ 对应2D的虚圆点对偶二次曲线 $C_{\infty}^*$ ，其标准式为 $diag(1,1,1,0)$

对应地

在射影变换 $H$ 下，绝对对偶二次曲面 $Q_{\infty}^*$ 不动的充要条件是 $H$ 是相似变换。
无穷远平面 $\pi_{\infty}$ 是 $Q_{\infty}^*$ 的零向量（无穷远线 $l_{\infty}$ 是 $C_{\infty}^*$ 的零向量）
两平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的夹角

$\cos{\theta}=\frac{\pi_1^TQ_{\infty}^*\pi_2}{\sqrt{(\pi_1^TQ_{\infty}^*\pi_1)(\pi_2^TQ_{\infty}^*\pi_2)}}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 200,045评论 5赞 468
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 84,114评论 2赞 377
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 147,120评论 0赞 332
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 53,902评论 1赞 272
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 62,828评论 5赞 360
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,132评论 1赞 277
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,590评论 3赞 390
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,258评论 0赞 254
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,408评论 1赞 294
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,335评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,385评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,068评论 3赞 315
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,660评论 3赞 303
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,747评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 30,967评论 1赞 255
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,406评论 2赞 346
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 41,970评论 2赞 341