人类数学的历史，是一部“数系”的扩张史，“数系”的扩张之路是如此地艰辛坎坷，是一部悲壮而又辉煌的史诗。

早在两千多年的古希腊，被西方人称为“科学与哲学之祖”的泰勒斯提出这样的千古难题：“世界的本源是什么？”

“这个世界的本源是数！”泰勒斯的学生毕达哥拉斯这样回答了这个问题。毕达哥拉斯所说的这个“数”指的是“自然数”，人类数学史上的第一个数系“自然数系”也因此诞生。

毕达哥拉斯学派认为：“整数”或者“整数的比”足以描述这个世界，提出了“万物皆数”的理论，并且将其上升为“毕达哥拉斯学派”至高无上的信仰教条，用“数”的代替了“神”的地位，学派的信条不充许违背，否则将进行严厉的惩罚。“毕达哥拉斯”对“有理数”的崇拜是如此的疯狂，以至于当他的学生希帕索斯发现无理数“根号2”之后，为了维护学派对“整数”的信仰，希帕索斯被无情地抛入大海，付出了生命的代价。

“根号2”的出现，导致了“第一次数学危机”的爆发，使得原有的以“有理数”为基础建立起来的“毕达哥拉斯数学体系”彻底崩溃，以“无理数”为基础的“实数连续统”开始萌芽。

不过，由于“第一次数学危机”的影响，人们普遍对“数”的研究失去了信心。人们已经从希帕索斯通过“几何”发现了“根号2”的事实，激发起了对“几何学”研究的热情，从而将已在萌芽状态的“实数理论”的研究抛到了一边，“数系”的扩充也陷入了长久的停滞，这一停就是上千年之久。

但是在世界东方的中国，对数的认识一直是持续而长久的，人们对“负数”的认识比西方要早得多，早在两千多年前，中国人就开始使用“负数”并且参与“加减运算”。

然而，在欧洲14世纪，就连最有成就的法国数学家丘凯依然把“负数”说成是“荒谬”的数。直到1629年，荷兰人日拉尔才首先认识和使用“负数”解决“几何”问题，16、17世纪欧洲大多数数学家不承认“负数”是数，帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说，1712年，连莱布尼兹都不愿承认“负数”，随着19世纪“整数理论”基础的建立，“负数”在逻辑上的合理性才真正建立。

“负数”的发现，是中国为世界数学所做出来重大贡献，填补了“数系”的重要空白，这些重要的成果体现在世界数学名著《九章算术》里。

《九章算术》由中国古代张苍、耿寿昌所撰写，是当时世界上最简练有效的“应用数学”，在中国古代形成了完整的数学体系，其中的“多元一次方程组”的消元的过程相当于现代“高等代数”中的“线性变换”。

《九章算术》以“计算”为中心，与人们的日常生活紧密相连，解决了大量的生产、生活中的数学问题。不但在“负数”的研究上有着丰富的成果，在“分数”的“概念”及“运算法则”上，也有着巨大的成就，其中的“代数”内容极为丰富，具有当时世界的先进水平。比如关于“比例问题”和“盈不足”的算法，是世界上最早系统叙述“分数运算”和“比例问题”的。其中“盈不足”的“双设法”经过丝绸之路传至中亚阿拉伯国家，后来又传入欧洲，在欧洲的影响曾经盛极一时，统治了他们的数学王国。

“负数”和“分数”的引入，使得“有理数”和“无理数”得到了进一步“扩充”，形成了完整的“实数系”。

但人们发现很快发现了“实数”的局限性，因为即使用全部“实数”，也不能完全解决“代数方程”的求解问题。像x^2+1=0这样最简单的“二次方程”，在“实数”范围内没有解。这引起了人们深深的思考，也因此发现了“负数的平方根”。

在当时的欧洲，“负数”的概念本来就不被认可，“负数的平方根”更是无稽之谈。1637年法国数学家笛卡尔，虽然在其《几何学》中第一次将“负数的平方根”命名为“虚数”，但笛卡尔依然称“虚数”就是虚假的，就连莱布尼兹也认为“虚数”是“既存在”又“不存在”的两栖物，而欧拉尽管在许多地方用了“虚数”，也依然认为“虚数”纯属虚幻。

“虚数”一直得不到承认的原因是因为在生活中似乎找不到可以用“复数”来表达的量，直到挪威测量学家维塞尔提出把“复数（a+bi）”用“平面上的点”来表示，再加上高斯提出了“复平面”的概念，才使得“复数”有了立足之地。

现在，“复数”一般用来表示“向量”（有方向的量），在水利学、地图学、航空学中有着广乏的应用。做为“现代物理”两大支柱的“相对论”和“量子力学”，“复数”的作用也是无可替代的。

然而，当数系扩张到“复数”后，还有可能继续扩张吗？1843年，汉密尔顿将“平面”中“虚数轴”的概念扩展到“四元数”想象的“四维空间”，其中“三个维”与“复数域”中的“虚数”相似。“四元数”的出现，标志着传统观念下的“数系扩张”终止了。

“数系”的扩张虽然终止了，但是，通向“抽象代数”的大门却打开了。