前言
非参数检验（卡方检验），参数检验（F检验，T检验，Z检验），方差分析（ANOVA）
非参数检验与参数检验区别：主要差异在于，非参数检验不需要假定总体分布形式，直接对数据的分布进行检验。由于不涉及总体分布的参数，故名「非参数」检验。比如，卡方检验。而参数检验一般需要正太性（符合正太分布）、方差齐次等假设，并已知总体均值，方差等值，或者从样本估计。
p value
一般在做假设检验的时候，我们可以通过如下步骤：
1、设定alpha
2、计算统计量t
3、根据alpha查统计量阈值来确定拒绝还是接受（这里是比较统计量t即可，t>t阈）
第二种方法，直接计算p value（对于不同假设分布有不同计算pvalue的公式）
p value的含义是：
image.png
在H0成立的情况下，Data产生的概率
非常好理解，p值为在H0假设下，最终会产生得到当前数据的概率。
如果p < alpha(比如0.05)则在H0的假设下，Data产生概率非常小（小于显著水平alpha），则应该拒绝H0
(注：显著性水平alpha与p值pval不是一回事，不要搞混。alpha为我们设定的显著性水平，pval为计算出来概率。alpha是我们主观去设定的值，pvalue为伴随数据客观得到的值）
第一类和第二类错误
第一类错误：H0为真，但是拒绝了H0（弃真）。概率为alpha（常用的显著性水平，即是达到5%概率犯第一类错误的水平【即很大概率不会错误地拒绝H0】）
一般我们计算时，p值就是真实情况下，犯第一类错误的概率。
第二类错误：H0为假，但是接受了H0（取伪）。当我们设定了alpha后，如果显著性水平没有达到alpha的值，那么我们会接受假设H0。在这种情况下，仍然有一定概率H0为假。这个概率为Beta。
1-β即为statistical power
通常，alpha设置的比较大，则beta也会比较大，如下图：
在统计量为蓝色竖线的时候，根据H0假设的分布，可以得到alpha，同时beta由H1的分布计算得来，但是通常我们不知道H1的真实分布，所以也无法精确计算beta
实践中，由于beta无法精确计算，但是我们还是想要降低第二类错误的概率，所以要做有如下的认知，beta的大小取决于两个因素：
1、H1假设与H0的距离，距离越大，beta越小。
2、alpha的值。alpha越大，beta越小。（更倾向于拒绝H0，一类错误概率增加，则二类错误率减少）。
通常在固定alpha，H1假设的情况下，要缩小beta需要增加样本量。
置信度和置信区间
置信水平（置信度）=1-显著性水平（alpha）
置信区间：U，V。指在一定的置信水平下(1-alpha)，被观测参数的真实值会落在区间（U，V）之内。
PS：什么是统计量，统计量是样本的函数，且不依赖于任何未知的参数。比如样本均值就是个常用的统计量，mean(sample)，它只依赖于所有样本的值。
PSS：一般来说，主要用于做区间估计。
自由度
统计学上，自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。一般来说，自由度等于独立变量减掉其衍生量数。举例来说，变异数的定义是样本减平均值(一个由样本决定的衍生量)，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。
如何选择一个合适的统计检验：（参考https://rpubs.com/Argaadya/bayesian_ab）
image.png
连续型数据
基于正态分布的检验
均值检验（T检验）
主要用于小样本（样本容量小于30）的两个平均值差异程度的检验方法（主要适用与总体方差未知的情况：即要用小样本的方差预估总体方差）
T检验也是一种参数检验。（对方差齐性敏感，需要先检验方差齐性【F检验】）
- 对于与总体配对的T检验，要求满足方差齐性，才能反应其均值的差异。【不齐性有特殊处理方法】
- 适用于已知总体均值（单样本配对时需要总体均值，双样本不需要），样本均值，样本方差（即样本少总体方差未知），且大致来自于正太分布（一般除非明显的长尾多峰等分布以外，都大致可以检验）
基础延伸：
H0假设 ：u与u0没有差异，u0其实就是一个comparison value，u=u0
H1假设（单边）：样本A均值大于B（或者小于）u>u0
H1假设（双边）：两个样本均值有差异u>u0 or u<u0
使用单边双边检验的区别：看你拒绝假设在两边，或者一边
均值检验中统计量
image.png
服从d=n-1的T分布。n为样本量
其泛化形式为
image.png
其中E(x0)为H0假设的对比值（comparison value），S(x)为对应变量x的标准差（一般总体参数未知）所以都是用样本标准差S,当我们对比的是均值时，均值的标准差用
image.png
-
单总体样本：
H0:样本均值与总体均值相同
image.png
¯x为样本均值，u为总体均值，Sx为样本标准差，
Sx/根号n 为样本均值的标准差 -
双总体配对样本：（形式与上述一致）
u0为0假设下差异值的均值。s为配对样本差值的标准差，s/根号n 为配对样本差值的均值的标准差 -
双总体非配对样本：
image.png
注：两个独立样本的差的variance是：
image.png
这个公式是一个比值。一个普通的比喻是，t值为信噪比。
配对t检验除了自由度有所差异，其实本身也差不多。
上述公式本质：分子都是均值，分母都是方差（均值的方差）。所以和z score本质也一样。
1）根据待检验的实验，计算出t值
2）根据t值查表获取p值，借此判断是否有统计学上的差异（不过通常做法是根据想要的p值【比如0.05】来查表获得临界的t值，再比较t值的大小来判断是否达到一定的显著性，p>临界t值，则效果显著）PS：p值代表原假设为真时，此事件发生的概率。【如果很小的话，则证明不太可能发生这样的情况，应该拒绝原假设，当然，拒绝也是有错误的可能性的，错误的概率也为p值，即有显著差异其误判的概率是p】
用于正态总体均值假设检验，单样本，双样本都可以。
结果意义：P值小于显著性水平时拒绝原假设，否则，接受原假设。具体的假设要看所选择的是双边假设还是单边假设（又分小于和大于）
单样本t检验
t.test(extra ~ 1, data = sleep)
#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: extra
#> t = 3.413, df = 19, p-value = 0.002918
#> alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.5955845 2.4844155
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 1.54
p=0.002918 < 0.05，拒绝原假设，接受备择假设，样本均值不等于0
双样本t检验
t.test(1:10, 10:20)
#>
#> Welch Two Sample t-test
#>
#> data: 1:10 and 10:20
#> t = -7, df = 19, p-value = 2e-06
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -12.4 -6.6
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y
#> 5.5 15.0
p=2e-06 < 0.05,则拒绝原假设，接受备择假设。说明两样本存在均值差异(两样本的均值差不等于0)
配对 t 检验
## 使用公式进行配对t检验
## The sleep data are actually paired, so could have been in wide format:
sleep2 <- reshape(sleep, direction = "wide",
idvar = "ID", timevar = "group")
t.test(Pair(extra.1, extra.2) ~ 1, data = sleep2)
#>
#> Paired t-test
#>
#> data: sleep2$extra.1 and sleep2$extra.2
#> t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
#> alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -2.4598858 -0.7001142
#> sample estimates:
#> mean difference
#> -1.58
## 不使用公式进行配对t检验
t.test(sleep2$extra.1,sleep2$extra.2,paired=T)
#>
#> Paired t-test
#>
#> data: sleep2$extra.1 and sleep2$extra.2
#> t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
#> alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -2.4598858 -0.7001142
#> sample estimates:
#> mean difference
#> -1.58
方差检验（F检验-方差齐性检验）
检测两个及以上的样本总体方差差异是否显著的检验。（对正太性敏感，需要前提为正太分布）
基础延伸：
H0假设：两个样本的方差没有差异（齐次）σ1 = σ2
H1对立假设：两个样本的方差有差异σ1 > σ2
描述统计量F=σ1/σ2 服从 d1=n1-1, d2=n2-1 的F分布
服从正态分布的两组样本总体方差比较
df <- data.frame(
value = c(rnorm(10), rnorm(10, mean = 1)),
group = c(rep("control", 10), rep("test", 10))
)
# 进行的是 F 检验
var.test(value ~ group, data = df)
#>
#> F test to compare two variances
#>
#> data: value by group
#> F = 0.4, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.2
#> alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.103 1.671
#> sample estimates:
#> ratio of variances
#> 0.415
多组样本方差比较
使用 Bartlett 检验比较每个组（样本）数据的方差是否一致。
bartlett.test(count ~ spray, data = InsectSprays)
#>
#> Bartlett test of homogeneity of variances
#>
#> data: count by spray
#> Bartlett's K-squared = 25.96, df = 5, p-value = 9.085e-05
# k-squared检验统计量的近似卡方分布的自由度
多样本均值比较
对于两组以上数据间均值的比较，使用方差分析 ANOVA
aov(wt ~ factor(cyl), data = mtcars)
#> Call:
#> aov(formula = wt ~ factor(cyl), data = mtcars)
#>
#> Terms:
#> factor(cyl) Residuals
#> Sum of Squares 18.2 11.5
#> Deg. of Freedom 2 29
#>
#> Residual standard error: 0.63
#> Estimated effects may be unbalanced
查看详细信息
model.tables(aov(wt ~ factor(cyl), data = mtcars))
#> Tables of effects
#>
#> factor(cyl)
#> 4 6 8
#> -0.9315 -0.1001 0.782
#> rep 11.0000 7.0000 14.000
通常先用 lm() 函数对数据建立线性模型，再用 anova() 函数提取方差分析的信息更方便。
md <- lm(wt ~ factor(cyl), data = mtcars)
anova(md)
#> Analysis of Variance Table
#>
#> Response: wt
#> Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
#> factor(cyl) 2 18.2 9.09 22.9 1.1e-06 ***
#> Residuals 29 11.5 0.40
#> ---
#> Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
ANOVA 分析假设各组样本数据的方差是相等的，如果知道（或怀疑）不相等，可以使用 oneway.test() 函数。
oneway.test(wt ~ cyl, data = mtcars)
#>
#> One-way analysis of means (not assuming equal variances)
#>
#> data: wt and cyl
#> F = 20, num df = 2, denom df = 19, p-value = 2e-05
多组样本的配对 t 检验
计算组间水平的两两比较，并进行多次检验校正
pairwise.t.test(mtcars$wt, mtcars$cyl)
#>
#> Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
#>
#> data: mtcars$wt and mtcars$cyl
#>
#> 4 6
#> 6 0.01 -
#> 8 6e-07 0.01
#>
#> P value adjustment method: holm
p.adjust.methods # 可以自定义 p 值校正方法
# c("holm", "hochberg", "hommel", "bonferroni", "BH", "BY", "fdr", "none")
正态性检验
Shapiro-Wilk 检验：
检验数据是否符合正态分布，R函数：shapiro.test()。
结果含义：当p值小于某个显著性水平α(比如0.05)时，则认为样本不是来自正态分布的总体，否则则承认样本来自正态分布的总体。
shapiro.test(rnorm(30))
#>
#> Shapiro-Wilk normality test
#>
#> data: rnorm(30)
#> W = 1, p-value = 1
分布的对称性检验
用 Kolmogorov-Smirnov 检验查看一个向量是否来自对称的概率分布（不限于正态分布）。
函数第 1 个参数指定待检验的数据，第 2 个参数指定对称分布的类型，可以是数值型向量、指定概率分布函数的字符串或一个分布函数。
ks.test(rnorm(10), "pnorm")
#>
#> One-sample Kolmogorov-Smirnov test
#>
#> data: rnorm(10)
#> D = 0.4, p-value = 0.09
#> alternative hypothesis: two-sided
ks.test(rpois(10, lambda = 1), "pnorm")
#> Warning in ks.test(rpois(10, lambda = 1), "pnorm"): ties should not be present
#> for the Kolmogorov-Smirnov test
#>
#> One-sample Kolmogorov-Smirnov test
#>
#> data: rpois(10, lambda = 1)
#> D = 0.5, p-value = 0.01
#> alternative hypothesis: two-sided
检验两个向量是否服从同一分布
ks.test(rnorm(20), rnorm(30))
#>
#> Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
#>
#> data: rnorm(20) and rnorm(30)
#> D = 0.1, p-value = 1
#> alternative hypothesis: two-sided
相关性检验
cor.test(mtcars$mpg, mtcars$wt)
#>
#> Pearson's product-moment correlation
#>
#> data: mtcars$mpg and mtcars$wt
#> t = -10, df = 30, p-value = 1e-10
#> alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -0.934 -0.744
#> sample estimates:
#> cor
#> -0.868
一共有 3 种方法（"pearson", "kendall", "spearman"）
cor.test(mtcars$mpg, mtcars$wt, method = "spearman", exact = F)
#>
#> Spearman's rank correlation rho
#>
#> data: mtcars$mpg and mtcars$wt
#> S = 10292, p-value = 1e-11
#> alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
#> sample estimates:
#> rho
#> -0.886
不依赖分布的检验
均值检验
Wilcoxon 检验是 t 检验的非参数版本。
单样本秩和检验
x <- c(1.83, 0.50, 1.62, 2.48, 1.68, 1.88, 1.55, 3.06, 1.30)
y <- c(0.878, 0.647, 0.598, 2.05, 1.06, 1.29, 1.06, 3.14, 1.29)
wilcox.test(x, y, paired = TRUE, alternative = "greater")
#>
#> Wilcoxon signed rank exact test
#>
#> data: x and y
#> V = 40, p-value = 0.01953
#> alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
wilcox.test(y - x, alternative = "less") # The same.
#>
#> Wilcoxon signed rank exact test
#>
#> data: y - x
#> V = 5, p-value = 0.01953
#> alternative hypothesis: true location is less than 0
## 使用公式进行单样本检验
depression <- data.frame(first = x, second = y, change = y - x)
wilcox.test(change ~ 1, data = depression)
#>
#> Wilcoxon signed rank exact test
#>
#> data: change
#> V = 5, p-value = 0.03906
#> alternative hypothesis: true location is not equal to 0
wilcox.test(Pair(first, second) ~ 1, data = depression)
#>
#> Wilcoxon signed rank exact test
#>
#> data: Pair(first, second)
#> V = 40, p-value = 0.03906
#> alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
双样本秩和检验
x <- c(0.80, 0.83, 1.89, 1.04, 1.45, 1.38, 1.91, 1.64, 0.73, 1.46)
y <- c(1.15, 0.88, 0.90, 0.74, 1.21)
wilcox.test(x, y, alternative = "g") # greater
#>
#> Wilcoxon rank sum exact test
#>
#> data: x and y
#> W = 35, p-value = 0.1272
#> alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
wilcox.test(x, y, alternative = "greater",
+ exact = FALSE, correct = FALSE) # H&W large sample
#>
#> Wilcoxon rank sum test
#>
#> data: x and y
#> W = 35, p-value = 0.1103
#> alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
wilcox.test(rnorm(10), rnorm(10, 2), conf.int = TRUE)
#>
#> Wilcoxon rank sum exact test
#>
#> data: rnorm(10) and rnorm(10, 2)
#> W = 2, p-value = 4.33e-05
#> alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -4.072355 -1.718803
#> sample estimates:
#> difference in location
#> -2.906765
多均值比较
多均值比较使 Kruskal-Wallis 秩和检验。
x <- c(2.9, 3.0, 2.5, 2.6, 3.2) # normal subjects
y <- c(3.8, 2.7, 4.0, 2.4) # with obstructive airway disease
z <- c(2.8, 3.4, 3.7, 2.2, 2.0) # with asbestosis
kruskal.test(list(x, y, z))
#>
#> Kruskal-Wallis rank sum test
#>
#> data: list(x, y, z)
#> Kruskal-Wallis chi-squared = 0.77143, df = 2, p-value = 0.68
## 相同的结果
x <- c(x, y, z)
g <- factor(rep(1:3, c(5, 4, 5)),
+ labels = c("Normal subjects",
+ "Subjects with obstructive airway disease",
+ "Subjects with asbestosis"))
kruskal.test(x, g)
#>
#> Kruskal-Wallis rank sum test
#>
#> data: x and g
#> Kruskal-Wallis chi-squared = 0.77143, df = 2, p-value = 0.68
## 使用公式
require(graphics)
boxplot(Ozone ~ Month, data = airquality)
kruskal.test(Ozone ~ Month, data = airquality)
#>
#> Kruskal-Wallis rank sum test
#>
#> data: Ozone by Month
#> Kruskal-Wallis chi-squared = 29.267, df = 4, p-value = 6.901e-06
方差检验
使用Fligner-Killeen（中位数）检验完成不同组别的方差比较
fligner.test(InsectSprays$count, InsectSprays$spray)
#>
#> Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
#>
#> data: InsectSprays$count and InsectSprays$spray
#> Fligner-Killeen:med chi-squared = 14.483, df = 5, p-value = 0.01282
fligner.test(count ~ spray, data = InsectSprays)
#>
#> Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
#>
#> data: count by spray
#> Fligner-Killeen:med chi-squared = 14.483, df = 5, p-value = 0.01282
scale参数差异
R 有一些检验可以用来确定scale参数的差异。分布的scale参数确定分布函数的尺度，如 t 分布的自由度。
Ansari-Bradley 检验（两样本）
## Serum iron determination using Hyland control sera
ramsay <- c(111, 107, 100, 99, 102, 106, 109, 108, 104, 99,
101, 96, 97, 102, 107, 113, 116, 113, 110, 98)
jung.parekh <- c(107, 108, 106, 98, 105, 103, 110, 105, 104,
100, 96, 108, 103, 104, 114, 114, 113, 108, 106, 99)
ansari.test(ramsay, jung.parekh)
#>
#> Ansari-Bradley test
#>
#> data: ramsay and jung.parekh
#> AB = 185.5, p-value = 0.1815
#> alternative hypothesis: true ratio of scales is not equal to 1
#>
#> Warning message:
#> In ansari.test.default(ramsay, jung.parekh) : 无法精確計算带连结的p值
Mood 检验（两样本）
mood.test(rnorm(10), rnorm(10, 0, 2), conf.int = TRUE)
#>
#> Mood two-sample test of scale
#>
#> data: rnorm(10) and rnorm(10, 0, 2)
#> Z = -1.5595, p-value = 0.1189
#> alternative hypothesis: two.sided
离散数据
比例检验
未给定概率
使用 prop.test() 比较两组观测值发生的概率是否有差异。
heads <- rbinom(1, size = 100, prob = .5) # 二项分布：随机生成一个概率为0.5，在100次试验中能成功发生的的次数
prop.test(heads, 100) # continuity correction TRUE by default
#>
#> 1-sample proportions test with continuity correction
#>
#> data: heads out of 100, null probability 0.5
#> X-squared = 0.25, df = 1, p-value = 0.6171
#> alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.3703535 0.5719775
#> sample estimates:
#> p
#> 0.47
prop.test(heads, 100, correct = FALSE)
#>
#> 1-sample proportions test without continuity correction
#>
#> data: heads out of 100, null probability 0.5
#> X-squared = 0.36, df = 1, p-value = 0.5485
#> alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.3751082 0.5671114
#> sample estimates:
#> p
#> 0.47
## H0原假设：从患者中抽取的四个人，在人群中吸烟者的真实比例相同。
## H1备择假设：抽取的这个比例在至少一个群体中是不同的。
smokers <- c( 83, 90, 129, 70 )
patients <- c( 86, 93, 136, 82 )
prop.test(smokers, patients)
#>
#> 4-sample test for equality of proportions without continuity correction
#>
#> data: smokers out of patients
#> X-squared = 12.6, df = 3, p-value = 0.005585
#> alternative hypothesis: two.sided
#> sample estimates:
#> prop 1 prop 2 prop 3 prop 4
#> 0.9651163 0.9677419 0.9485294 0.8536585
给定概率值
prop.test(heads, 100, p = 0.3, correct = FALSE)
#>
#> 1-sample proportions test without continuity correction
#>
#> data: heads out of 100, null probability 0.3
#> X-squared = 13.762, df = 1, p-value = 0.0002075
#> alternative hypothesis: true p is not equal to 0.3
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.3751082 0.5671114
#> sample estimates:
#> p
#> 0.47
二项式检验
在伯努利实验中对一个简单的原假设成功的概率进行精确检验。
## 在孟德尔遗传的假设下，两种特定基因型植物的杂交产生的后代中，1/4是“矮秆”，3/4是“高秆”。为了确定这个假设是否合理，一个杂交的结果是后代有243个矮秆植株和682个高秆植株。如果“高秆”被视为成功，原假设是p = 3/4，备择假设是p != 3/4。
binom.test(c(682, 243), p = 3/4)
#>
#> Exact binomial test
#>
#> data: c(682, 243)
#> number of successes = 682, number of trials = 925, p-value = 0.4
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.75
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.708 0.765
#> sample estimates:
#> probability of success
#> 0.737
binom.test(682, 682 + 243, p = 3/4) # The same
#>
#> Exact binomial test
#>
#> data: 682 and 682 + 243
#> number of successes = 682, number of trials = 925, p-value = 0.4
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.75
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.708 0.765
#> sample estimates:
#> probability of success
#> 0.737
与其他的检验函数不同，这里的 p 值表示试验成功率与假设值的最小差值。
列联表检验
用来确定两个分类变量是否相关。
小的列联表
当列联表较小时，Fisher 精确检验有较好的检验结果。
## 一个关于喝茶的故事
## 有一位英国妇女，她声称能分辨出是先往杯子里倒牛奶还是先往杯子里倒茶。为了测试，她喝了8杯茶，其中4杯先加了牛奶。为了确定倒酒的顺序和女士的猜测结果是否有关联？可作出如下假设：
## 原假设是真实的倒酒顺序和女士的猜测之间没有关联，备择假设是有正关联(比值比大于1)。
TeaTasting <-
matrix(c(3, 1, 1, 3),
nrow = 2,
dimnames = list(Guess = c("Milk", "Tea"),
Truth = c("Milk", "Tea")))
fisher.test(TeaTasting, alternative = "greater")
#>
#> Fisher's Exact Test for Count Data
#>
#> data: TeaTasting
#> p-value = 0.2429
#> alternative hypothesis: true odds ratio is greater than 1
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.3135693 Inf
#> sample estimates:
#> odds ratio
#> 6.408309
大的列联表
当列联表较大时，Fisher 计算量很大，可以使用卡方检验替代。
chisq.test(TeaTasting)
#> Warning in chisq.test(TeaTasting): Chi-squared approximation may be incorrect
#>
#> Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
#>
#> data: TeaTasting
#> X-squared = 0.5, df = 1, p-value = 0.5
对于三变量的混合影响，使用 Cochran-Mantel-Haenszel 检验。
在三变量没有相互作用的情况下，进行Cochran-Mantel-Haenszel卡方检验，即每个层面中有两个变量是条件独立的。
## 青霉素和兔子：立即注射或1.5小时延迟注射青霉素对家兔抗-溶血性链球菌致死效果的研究。
Rabbits <- # 生成5个2*2的三维数组
array(c(0, 0, 6, 5,
3, 0, 3, 6,
6, 2, 0, 4,
5, 6, 1, 0,
2, 5, 0, 0),
dim = c(2, 2, 5),
dimnames = list(
Delay = c("None", "1.5h"),
Response = c("Cured", "Died"),
Penicillin.Level = c("1/8", "1/4", "1/2", "1", "4")))
## 经典Mantel-Haenszel检验
mantelhaen.test(Rabbits)
#>
#> Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction
#>
#> data: Rabbits
#> Mantel-Haenszel X-squared = 3.9286, df = 1, p-value = 0.04747
#> alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
#> 95 percent confidence interval:
#> 1.026713 47.725133
#> sample estimates:
#> common odds ratio
#> 7
# P = 0.047，证据表明立即注射治愈率较高
## 精确条件检验
mantelhaen.test(Rabbits, exact = TRUE)
#>
#> Exact conditional test of independence in 2 x 2 x k tables
#>
#> data: Rabbits
#> S = 16, p-value = 0.03994
#> alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
#> 95 percent confidence interval:
#> 1.077401 529.837399
#> sample estimates:
#> common odds ratio
#> 10.36102
# p = 0.040 选择的精确条件检验，直接注射治愈率较高。
用 McNemar 卡方检验-检验二维列联表的对称性
## 总统支持率：在相隔一个月的两项调查中，总统的执政表现得到了认可，该调查对1600名处于投票年龄的美国人进行了随机抽样调查。
Performance <-
matrix(c(794, 86, 150, 570),
nrow = 2,
dimnames = list("1st Survey" = c("Approve", "Disapprove"),
"2nd Survey" = c("Approve", "Disapprove")))
mcnemar.test(Performance)
#>
#> McNemar's Chi-squared test with continuity correction
#>
#> data: Performance
#> McNemar's chi-squared = 16.818, df = 1, p-value = 4.115e-05
# p-value = 4.115e-05 说明支持率有明显变化(实际上是下降)
列联表非参数检验
Friedman 秩和检验是一个非参数版本的双边 ANOVA 检验。（应用于未重复的块数据）
## 通过对三种方法(“四舍五入”、“窄角”和“广角”)，来比较速度的差异，18名球员中，每一个人从距离本垒35英尺的一垒线上的一个点到距离二垒15英尺的一个点的两次跑垒的平均时间被记录下来。
RoundingTimes <-
matrix(c(5.40, 5.50, 5.55,
5.85, 5.70, 5.75,
5.20, 5.60, 5.50,
5.55, 5.50, 5.40,
5.90, 5.85, 5.70,
5.45, 5.55, 5.60,
5.40, 5.40, 5.35,
5.45, 5.50, 5.35,
5.25, 5.15, 5.00,
5.85, 5.80, 5.70,
5.25, 5.20, 5.10,
5.65, 5.55, 5.45,
5.60, 5.35, 5.45,
5.05, 5.00, 4.95,
5.50, 5.50, 5.40,
5.45, 5.55, 5.50,
5.55, 5.55, 5.35,
5.45, 5.50, 5.55,
5.50, 5.45, 5.25,
5.65, 5.60, 5.40,
5.70, 5.65, 5.55,
6.30, 6.30, 6.25),
nrow = 22,
byrow = TRUE,
dimnames = list(1 : 22,
c("Round Out", "Narrow Angle", "Wide Angle")))
friedman.test(RoundingTimes)
#>
#> Friedman rank sum test
#>
#> data: RoundingTimes
#> Friedman chi-squared = 11.143, df = 2, p-value = 0.003805
# p-value = 0.003805 强有力的证据证明这些方法在速度方面是等价的
