边读边记  逐字逐句

  ----《数学文化教程》摘录笔记三

大寨一中  高元节

学一点微积分：

            局部和整体的矛盾统一

“一尺之棰”和“孤帆远影”

----谈数学中的极限

“孤帆远影碧空尽”与“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的区别在于：变化过程是连续的，不再是离散的。它不再是潜无限的数列的极限，而是经历了航行中无数时刻的实无限的连续变化过程。（129页）

中国古代数学家能够运用圆内接正多边形面积的极限过程求圆周率。刘徽的“割圆术”中说，“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则无失矣”，把极限的动态过程及其归宿，描写得十分透彻和传神。（129页）

用“有限”符号装点的“极限”女神

                  ----数列极限严格定义的欣赏

极限是一个无限的变化过程。本来只能“意会”，难以言传。（132页）

即使我们自己不能充分掌握它、运用它，至少也能欣赏它。（132页）

无论是“日取其半”，还是“割之又割”，抑或“无限逼近”，都被此定义统一概括：变量趋向于一个极限，一步步地越走越近当然可以，进两步、退一步也还是接近。正如黄河九曲十八弯，最后还是注入大海，寻到最后的“归宿”。（132页）

《庄子.天下篇》说“人生有涯矣，知无涯矣，以有涯随无涯，殆矣”。人的一生虽然不能穷尽所有知识，但是人的能动思维却能跨越无限，用可以操作的有限来表达无限。极限的这一表达，奠定了微积分的坚实基础。（132页）

抽到断水水更流的数学描述

----函数的极限和连续

微积分是用极限方法研究函数性质的学科。（134页）

连绵不断的曲线，可以想象为“江河的流水”。抽刀断水水更流，上游的水流到这里，又从此出出发流向下游。上下游的水，一点一点地接续着。（134页）

“无穷小量的鬼魂”

----早期微积分学有效但不严谨

1.1973年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，他嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。马克思在他的《数学手稿》中也说，把无穷小量像0一样略去，是“暴力镇压”。（139页）

在17世纪，数学家还顾不得脚下的基础，而是大踏步前进，“掠取”战利品，收获大量的科学成果，名副其实地创造了“科学黄金时代”。（140页）

在今天看来，无穷小量是一个变化过程，它的归宿是0，即是一个极限为0的变量。作为变量，在变化过程中并不为0，只是和0无限接近。（140页）

微分之比，“局部”为本

切线，是人类的直觉可以触及的。人的强大直觉能力，使“切线”概念容易意会，但难以言传。（142页）

如果把函数图像的个点处切线斜率都求出来，然后观察切线斜率的变化，就能知道函数的性质（包括单调性、极大极小值点等）。这将是别开生面的创新。（143页）

第六节  局部思考超越“飞矢不动”

----考察瞬时速度

微积分的基本概念是极限。极限，正是为处理局部才生成的。（143页）

科学的看待事物，就会注意到事物的单元并非一个个的孤立的点，而是一个内涵的局部。人体由细胞构成，物体由分子构成。社会由小的局部----家庭构成。（144页）

孤立地仅就一个时刻而言，物体没有动。但是物体运动有其前因后果，即是由前后位置的比较反映出来的，有比较才会产生速度。（145页）

第七节  局部与整体沟通的桥梁

----导函数与微分中值定理

这个结论告诉我们：区间上增减----整体性质，每点可导----局部性质，微分中值定理把两者连接起来了。（149页）

累积微分，溯源整体

大自然是局部与整体的统一。整体是由局部构成的。把局部研究透了，自然能够获得更多的整体信息。（149页）

微分学由整体出发，深刻地揭示函数在一点的局部性质。微分的含义是“细分入微”，进一步的思考则应该是“见微知著”，将函数各点累计起来，从而了解整体。（149页）

东方和西方的两个伟大数学家走的是同一条道路：分割，作和，极限，获得结果。就数学思想而言，都是从“微小”的局部出发，加以累积，得出整体的结果。（153页）

辩证地看，局部是整体细分后“小整体”量的极限。反映全部变化的“大整体”，则是局部变化累积的结果。微积分的魅力，就在于这种深刻的思考，成为人类理性思维的典范。（157页）

更上一层楼：寻找原函数

环环相扣，函数性质的研究到达微积分时代，开创了初等数学所无法达到的新局面。（160页）

一桥飞架南北，天堑变通途

----牛顿-莱布尼茨公式

现在我们有了两种积分：定积分和不定积分。定积分的思想来自求曲边梯形面积，和微分学本无直接联系。至于不定积分，则直接从“导数”的反问题引出。（161页）

微分搭台，方程唱戏

微分方程和微分几何成为现代数学最重要的学科。（164页）

时序进入21世纪，微积分揭去了神秘的面纱，

  任人瞻仰，甚至走进中学课堂。

  哲人说“世界是用微分方程写成的”，

  再也没有人怀疑微积分的力量。

微积分成为现代公司的普通素养，

茶余饭后也可以谈论有限和无限，

整体和局部，常量和变量。

“会当凌绝顶，一览众山小”；

微积分，风光无限，无限风光！

数据人生

数据的统计处理

              ----从去掉最高分和最低分说起

平均数注意到每一个数据的作用，是一种全面考虑。但是，平均数容易受个别特异值的影响。（176页）

中位数的特征是比它大的数据和比它小的数据一样多。所以，要问居于“多数”还是“少数”，要以中位数为准则。（177页）

数据的运用：

“公说公有理，婆说婆有理”

香港的中学数学教材里，有这样一节，名为“公说公有理，婆说婆有理”。数学教材里出现这样的标题，在内地十分罕见。在一些人看来，数学应该板起面孔才是。（177页）

这节数学课的标题是“公说公有理，婆说婆有理”。大家都有理。至于如何处理不同意见，那是劳资协商的问题了。（179页）

因为我们的数学教材和数学教学种通常只有把图标转换为函数图像的一种画法，不教数据处理。（179页）

系统聚类

每次合并可减少类的书目，直至类的书目满足类的要求为止。这种方法成为系统分类。（180页）

《红楼梦》的作者是谁？

数据分析的应用

用数学的方法判断一部文学作品的作者，在国外早有先例。当年，苏联肖洛霍夫是否创作了《静静的顿河》，也曾闹得满城风雨。最后据说是用了统计方法，才确认了肖洛霍夫的作者地位。（182页）

1987年负担那大学数学系教授的数理统计专家李贤平教授，发表《《红楼梦》成书新说》的论文，作者用现代数学方法，以电子计算机为工具，对《红楼梦》的语言作了统计分析，获得了大量的新发现。（182页）

数学方法的价值：它印证了红学家们的科学研究成果，同时又提供了新的视角。应该是很有说服力的。当然，数学描述只是一种参考，47割虚字作为指标，也是一种尝试。历史和文学不能简化为“虚字”统计。但是数学的统计毕竟是客观存在，其结果是人人可以重复的。从一个特定的角度看问题，自有其特殊性的价值。（185页)

我们预言，数学方法在文学研究中会有更大的作为。（185页）

数据与历史：计量历史学

历史学的研究，历来集中于政治领域。（185页）

其实，从模糊数学的角度看，从奴隶制到封建制是一个长期缓变的过程。封建社会是一个“模糊集合”，其边缘是模糊的。（187页）

现在，我们认识到，社会主义初级阶段是一个很长的时期。21世纪开始时的中国社会的“社会主义”隶属度是多少，应该是一个可以研究的问题。（187页）

媒体信息中的数据欺骗和滥用

“用数据说谎”不仅会出现在科学研究中，还会出现在宣扬政绩的报表中，推销产品的广告里，乃至一些貌似科学的文字中。当然，有一些并非恶意欺诈，只是不恰当地滥用数据而已。（188页)

既然是欺诈，它总带着魅力假面具。如果人们提高了对虚假数据的认识能力，善于揭穿数据欺诈的鬼把戏，那就会比法律和道德更有意义。没有人上当了，数据欺诈也就不存在了。（188页）

数据欺诈和数据滥用问题，在当前我国的媒体报道、广告宣传以及日常生活中也不少见，应引起我们的高度重视。

取样的样本有误

选择的代表数有误

用模糊的字眼误导

忽视数据的随机误差

使用不同的比较基数（190-192页）

总之，套用一句成语说：“成也数据，败也数据。”数据给我们带来科学、信息、愉悦；但也会被滥用，带来虚假、欺诈、烦恼。愿我们多多学习，提高数据意识，迎接未来的数据时代。（193页）

苏联李森科的“伪科学”数据

苏联的科学界，因为政治气候不正常，曾出现过许多冤案，也培植了一些伪科学。（194页）

李森科的“科学”工作，虽然一时十分“火爆”，被吹得神乎其神；但是，纸包不住火，最后终于暴露真相，身败名裂。他最恶劣的一手便是伪造数据，欺世盗名，以保持他的学阀地位。（194页）

1949年，波希扬宣布，“病毒起源于细菌；反之，细菌也起源于病毒”。李森科是这一理论的支持者，封之为“米丘林主义者”。最后，由著名科学家组成的18个评审委员会揭露了这场骗局，剥夺了波希扬的博士学位。（196页）

被李森科被迫害至死的N.I.瓦维洛夫曾写道：

我们将走向火葬场

我们将被火化，但我们

决不放弃我们的信念

科学家的信念是真实。一切科学欺诈的下场，都会和李森科一样。（196页）

线性数学与非线性数学

线性空间、向量空间、欧式空间

数系是我们熟悉的数学对象：有理数系、实数系、复数系。在这些数系中，加减乘除四种运算可以通行无阻（分母不为零）。（199页）

力，作为向量，古已有之。但作为向量结构，则是18世纪以后的事情。向量全面进入中国的中学数学课程，已到21世纪了。（201页）

（1）第一代向量：以合力的平行四边形法则为特征。

第二代向量：有“数乘”原酸，可以进行力的分解。

第一代向量只是单独的个体。第二代向量，则不再是孤立地看几个向量的运算，而是形成了一族向量，构成“线性空间”的“社会”，彼此利益相连，有合有分，浑然一体。如果说第一代向量是远古的”原始人“，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了。

第三代向量：数量积和向量积的引入。

  可以说，引进了数量积的第三代向量，就好像人类社会掌握了高科技，可以呼风唤雨，上天入地。“文明人”进步到“现代人”的程度了。这种拟人化的比方，不妨作为向量发展的基本线索。（201-203页）

我们生活的现实空间是三维的平直空间：各向同性，平直广延，没有弯曲。(203页）

线性空间上的矩阵

矩阵，简单地说，就是线性空间上的线性函数。（204页）

矩阵是把向量变成向量，即对每一个三维向量，经过一个三阶矩阵，都有唯一的一个三维向量与之对应。换句话说，三阶仿真是三维向量空间上的一个函数。（205页）

超市里的向量和矩阵

所谓“有序”，是指每个未知都有特殊的意义，不可以随意颠倒。（209页）

向量的好处是表述简单，运算方便。（209页）

对于超市来说，不仅每一笔生意是一个向量，商品的价格、店中货物的库存量、每日销售总量等，也都是向量。一个大型超市有数千种商品，成万笔生意，因此需要考虑成万个数千维的向量，人工记录和计算工作量很大，也容易出错。但所有这一切都可以交由计算机执行，这就是计算机管理。（210-211页）

非线性数学  蝴蝶效应

所谓“线性数学”，是指研究的数学对象都是线性的代数式，例如线性函数、线性方程等。线性，是直线性的简称，具有鲜明的几何意义。由于直线的方程是以此代数式，即是一次函数的图像；所以，线性数学研究的对象，都是以此的代数式。（213页）

1979年12越，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演种提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，成为大家耳熟能详的普通名词了。（214页）

所谓线性，是指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表按比例、有稳定规律的、光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。（214页）

“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。（214页）

一个明智的领导人一定要防微杜渐，一些看似极微小的事情很有可能造成集团的分崩离析，造成整体的巨大损失。战场如此，一切事业都需要关注局部的微小变化，不可以掉以轻心。（215页）

分形几何

分形不仅成为一门严肃的数学分支，被许多数学家深入研究；而且是一门艺术，赢得无数艺术家的青睐。此外，它还是图像压缩、信息传输的工具，甚至可以成为一种上帝创造的指纹，在坚定特定的地质纪元、矿脉类型及其含量的研究中可以发挥作用。（217页）

事实上，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等，它们的共同特点是：表面上极不规则或及不光滑，却内涵某种特定的结构。研究物理的分形结构的几何学成为分形几何。（219页）

分形几何与传统几何相比有以下两个特点。首先从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。其次，在不同尺度的局部上看，其局部形状又和整体形态相似，即它们从整体到局部们都是自相似的。（219页）

无情的魅力使得人们将曼德勃罗集称为数学恐龙。（223页）