对一类网络路径问题的思考

1.简介Introduction

1.1网络路径问题

在一个网络 $G=(N,A)$ 中， $N$ 表示节点的集合， $A$ 表示弧段的集合。其中，一条弧段可表示为 $(i,j) \in A, \forall i,j \in N$ 。

1.2基本形式

Origin problem (P)
$\begin{array}{l} \min c^Tx \\ Ax \leqslant b \\ Cx \leqslant d \\ x = \left\{ {0,1} \right\} \end{array}$

其中 $Ax \leqslant b$ 是复杂约束， $Cx \leqslant d$ 是简单约束。

1.3例子

考虑一个带有路径长度约束的最短路问题，它具有如下形式
$\min \sum_{(i, j) \in A} c_{i j} x_{i j}\\ s.t.\sum_{\{j :(i, j) \in A \}} x_{i j}-\sum_{\{j :(j, i) \in A\}} x_{j i}=\left\{\begin{aligned} 1 & \text { for } i=1 \\ 0 & \text { for } i \in N \backslash \left\{1, n\right\} \\-1 & \text { for } i=n \end{aligned}\right. \\ \sum_{(i, j) \in A} t_{i j} x_{i j} \leq T\\ x_{i j}=0 \text { or } 1 \quad \text { for all }(i, j) \in A$

2.拉格朗日松弛技术(A LAGRANGIAN RELAXATION TECHNIQUE)

2.1 拉格朗日乘子问题

对于原始问题(P)，构造拉格朗日松弛/子问题(Lagrangian relaxation / Lagrangian subproblem)
$\begin{gathered} {\text{Minimize }}c^Tx + \mu ^T(Ax - b) \hfill \\ Cx \leqslant d \hfill \\ x = \left\{ {0,1} \right\} \hfill \\ \end{gathered}$

拉格朗日函数(Lagrangian Function)定义为：
$L(\mu)=\min \{c^Tx+\mu^T(Ax-b) : x \in X\}$

$X = \left\{ x|Cx \leqslant d,x = \left\{ {0,1} \right\} \right\}$ ，并且我们假定集合 $X$ 是有限的，所以 $X=\{x^1,x^2,\cdots,x^K\}$ 。

引理 (Lagrangian Bounding Priciple) 对于任意的拉格朗日乘子 $\mu$ ，拉格朗日函数 $L(\mu)$ 的值是原问题最优目标函数值 $z^*$ 的下界，即有
$z^{*} \geq \min \{c^Tx+\mu^T(Ax-b) : x \in X\}=L(\mu)$

拉格朗日乘子问题(Lagrangian multiplier problem)
$L^{*}=\max _{\mu \geq 0} L(\mu)$

2.2弱对偶性

(Weak Duality) The optimal objective function value $L^*$ of the Lagrangian multiplier problem is always a lower bound on the optimal objective function value of the problem (P). (i.e., $L^* \leq z^*$ ).

上述几个量之间的关系：
$L(\mu) \leq L^{*} \leq z^{*} \leq c ^Tx$

2.3 为什么要研究拉格朗日乘子问题

至少可以找到原问题的一个下界。

2.4 一个例子

这里以一开始的最短路问题为例。
$L(\mu)=\min \left\{c_{P}+\mu^T\left(t_{P}-T\right) : P \in \mathscr{P}\right\}$
这里做了一些简化，因为我们不需要把路径守恒约束放到拉格朗日函数中，这样，原问题解的形式可以用路径来表达，这里一条路径 $p$ 表示一系列 $x$ 的取值。通过枚举所有路径 $p$ 可以得到所有 $c_{P}+\mu\left(t_{P}-T\right)$ 的取值。

1558340610162.png

这样可以作出 $L(\mu)$ 的图像：

1558341703881.png

接下来两节会介绍次梯度法和割平面法求解拉格朗日乘子问题。

3.次梯度法 Bubgradient Optimization Technique

梯度法（爬山法）
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{f(x+\theta d)-f(x)}{\theta}=\nabla f(x) d$
选取方向 $d$ 使得 $\nabla f(x) d>0$ ，则 $d$ 就是“上山”方向。

次梯度法核心思想：不断按照一个迭代规则移动 $\mu$
$\mu^{l+1}=\left[\mu^{l}+\theta_{l}\left(Ax^{l}-b\right)\right]^{+}$

$x^l$ 是第 $l$ 次迭代中任意一个解。

在使用这个方法的时候，步长 $\theta_{l}$ 的选择较为重要。如果步长太小，算法会卡在一个地方不无法收敛；如果太大，则会漏掉最优解并且可能在两个或多个非优解之间来回。所以通过设置 $\theta_{l} \rightarrow 0$ 和 $\sum_{j=1}^{l} \theta_{j} \rightarrow \infty$ 使得算法在这两种极端情况中取一个平衡点。

4.割平面方法

我们首先引入辅助变量 $w$ ，拉格朗日乘子问题转变为：
$\begin{array}{l} & & max \ w \\ & s.t. & w \leq c^T x^{k}+\mu^T\left(Ax^{k}-b\right), \quad \text { for all } k=1,2, \ldots, K\\ & & \mu \geqslant 0 \end{array}$

这是一个决策变量是 $w$ 和 $\mu$ 的线性规划问题。我们考虑这个问题的对偶问题：

$\begin{array}{l} & & \min \;\sum\limits_{k = 1}^K {{c^T}{x^k}{\xi _k}} \hfill \\ & s.t. & \sum\limits_{k = 1}^K {{\xi _k}} = 1 \hfill \\ & & \sum\limits_{k = 1}^K {{{(A{x^k} - b)}_i}} {\xi _k} \geqslant 0,\;\forall i =1,2,\cdots,m\hfill \\ \end{array}$

${{{(A{x^k} - b)}_i}}$ 表示向量 ${A{x^k} - b}$ 的第 $i$ 个维度值。
${{\xi _k}}$ 表示对偶变量。

割平面的基本思想是，我们不需要遍历所有的 $X=\{x^{1}, x^{2}, ...,x^K\}$ ，而是从某一个 $x$ 开始，每一次增加一个 $x$ (也就是增加一个约束，或者是在对偶问题中加入一个变量)。需要加入的变量可以由如下的无约束规划问题求得：

$\mathop {\min }\limits_k \left\{ {{c^T}{x^k} + \mu _l^T\left( {A{x^k} - b} \right)} \right\}$

如果值小于当前 $w$ ，则添加对应 $x^k$ 的约束进入原问题。如果当前值大于或等于 $w$ 。则拉格朗日乘子问题已经达到最优。

5. 参考文献

AHUJA. 1993. NETWORK FLOWS Theory, Algorithms,and Applications

最后编辑于：2019.05.29 17:40:24

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 203,547评论 6赞 477
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,399评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 150,428评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,599评论 1赞 274
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,612评论 5赞 365
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,577评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,941评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,603评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,852评论 1赞 297
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,605评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,693评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,375评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,955评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,936评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,172评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 43,970评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,414评论 2赞 342