顺磁自旋模型统计物理

考虑一个顺磁模型，各自旋彼此独立，只与一均匀外场有相互作用，外场强度为 $h$ 。体系能量为

$E=-h\sum_{i=1}^N s_i,\quad s_i=\pm 1$

相空间（也即构型空间）由集合 ${ s_i }_{i=1,\cdots,N}$ 给出。

问给定能量 $E$ ，体系有多少个构型？

能量 $E$ 给定，也即给定磁化强度 $M=\sum_{i=1}^N s_i$ 。设自旋取值为 $+1$ （也称自旋向上）的自旋数为 $N_+$ ，则磁化强度为 $M=N_+-(N-N_+)$ ，所以给定 $M$ 也即给定 $N_+$ ，于是由基本的排列组合公式知识，构型数为

$\Omega = \frac{N!}{N_+!(N-N_+)!}$

又

$N_+ = \frac{1}{2}\left ( N-\frac{E}{h}\right ) \label{Np}$

$将此式代入\eqref{Omega}，可以将\Omega表示为E的函数：$

$\Omega (E) = \frac{N!}{\left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]!\left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]!} \label{OmegaE}$

熵为

$S(E)=&\ln\Omega (E) \\ =& \ln N! -\ln \left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]! -\ln \left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]! \end{split} \label{Entropy}$

如果 $N$ 很大，满足斯特灵公式：

$\ln N! \approx N\ln N-N \label{Stirling}$
代入 $\eqref{Entropy}$ ，得

$S(E)= N\ln N-\frac{N+E/h}{2}\ln \frac{N+E/h}{2} - \frac{N-E/h}{2}\ln \frac{N-E/h}{2} \label{EntropyE}$

系统温度 $T$ 满足如下关系：

$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{2h} \ln \frac{N-E/h}{N+E/h} \label{T}$

由上式可得

$E=-Nh\tanh\frac{h}{T} \label{Eana}$

由 $\eqref{energy}$ 式， $E=-h\sum_{i=1}^N s_i=-Mh$ ，于是，总磁化强度为

$M=N\tanh\frac{h}{T} \label{M}$

摘自：https://joyfulphysics.scholarnet.cn/?p=1297

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