现在来看一个具体的例子“小哼买书”(根据全国青少年信息学奥林匹克联赛 NOIP2006 普及组第一题改编),来实践一下 章所学的三种排序算法。
小哼的学校要建立一个图书角,老师派小哼去找一些同学做调查,看看同学们都喜欢读哪些书。小哼让每个同学写出一个自己最想读的书的 ISBN 号(你知道吗?每 书都有唯一的 ISBN 号,不信的话你去找 书翻到背面看看)。当然有一些好书会有很多同学都喜欢,这样就会收集到很多重复的ISBN号。小哼需要去掉其中重复的ISBN号,即每个ISBN号只保留一个,也就说同样的书只买一 (学校真是够抠门的)。然后再把这些 ISBN 号从小到大排序,小哼将按照排序好的 ISBN 号去书店买书。请你协助小哼完成“去重”与“排序”的工作。
输入有 2 行,第 1 行为一个正整数,表示有 n 个同学参与调查(n≤100)。第 2 行有 n个用空格隔开的正整数,为每 图书的 ISBN 号(假设图书的 ISBN 号在 1~1000 之间)。
输出也是 2 行,第 1 行为一个正整数 k,表示需要买多少 书。第 2 行为 k 个用空格隔开的正整数,为从小到大已排好序的需要购买的图书的 ISBN 号。
例如输入:
10
20 40 32 67 40 20 89 300 400 15
则输出:
8
15 20 32 40 67 89 300 400
最后,程序运行的时间限制为 1 秒。
解决这个问题的方法大致有两种。第一种方法:先将这 n 个图书的 ISBN 号去重,再进行从小到大排序并输出;第二种方法:先从小到大排序,输出的时候再去重。这两种方法都可以。
先来看第一种方法。通过第一节的学习我们发现,桶排序稍加改动正好可以起到去重的效果,因此我们可以使用桶排序的方法来解决此问题。
#include <stdio.h>
int main(){
int a[1001],n,i,t;
for(i=1;i<=1000;i++)
a[i]=0; //初始化
scanf("%d",&n); //读入n
for(i=1;i<=n;i++) //循环读入n个图书的ISBN号
{
scanf("%d",&t); //把每一个ISBN号读到变量t中
a[t]=1; //标记出现过的ISBN号
}
for(i=1;i<=1000;i++) //依次判断1~1000这个1000个桶
{
if(a[i]==1)//如果这个ISBN号出现过则打印出来
printf("%d ",i);
}
getchar();getchar();
return 0;
}
这种方法的时间复杂度就是桶排序的时间复杂度,为 O(N+M)。
第二种方法我们需要先排序再去重。排序我们可以用冒泡排序或者快速排序。
20 40 32 67 40 20 89 300 400 15
将这 10 个数从小到大排序之后为
15 20 20 32 40 40 67 89 300 400。
接下来,要在输出的时候去掉重复的。因为我们已经排好序,所以相同的数都会紧挨在一起。只要在输出的时候,预先判断一下当前这个数 a[i]与前面一个数 a[i 1]是否相同。如果相同则表示这个数之前已经输出过了,不用再次输出;不同则表示这个数是第一次出现,需要输出这个数。
#include <stdio.h>
int main(){
int a[101],n,i,j,t;
scanf("%d",&n); //读入n
for(i=1;i<=n;i++) //循环读入n个图书ISBN号
{
scanf("%d",&a[i]);
}
//开始冒泡排序
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
for(j=1;j<=n-i;j++)
{
if(a[j]>a[j+1])
{
t=a[j]; a[j]=a[j+1]; a[j+1]=t;
}
}
}
printf("%d ",a[1]); //输出第1个数
for(i=2;i<=n;i++) //从2循环到n
{
if( a[i] != a[i-1] ) //如果当前这个数是第一次出现则输出
printf("%d ",a[i]);
}
getchar();getchar();
return 0;
}
这种方法的时间复杂度由两部分组成,一部分是冒泡排序的时间复杂度,是 N (N2),另一部分是读入和输出,都是 O(N),因此整个算法的时间复杂度是 O(2N+N 2)。相对于 N2 来说,2N 可以忽略(我们通常忽略低阶),最终该方法的时间复杂度是 O(N2)。
接下来我们还需要看下数据范围。每个图书 ISBN 号都是 1~1000 之间的整数,并且参加调查的同学人数不超过 100,即 n≤100。之前已经说过,在粗略计算时间复杂度的时候,我们通常认为计算机每秒钟大约运行 10 亿次(当然实际情况要更快)。因此以上两种方法都可以在 1 秒钟内计算出解。如果题目中图书的 ISBN 号范围不是在 1~1000 之间,而是 2147483648~2147483647 之间的话,那么第一种方法就不可行了,因为你无法申请出这么大的数组来标记每一个 ISBN 号是否出现过。另外如果 n 的范围不是小于等于 100,而是小于等于 10 万,那么第二种方法的排序部分也不能使用冒泡排序。因为题目要求的时间限制是 1 秒,使用冒泡排序对 10 万个数进行排序,计算机要运行 100 亿次,需要 10 秒钟,因此要替换为快速排序,快速排序只需要 100000×log2100000≈100000×17≈170 万次,这还不到0.0017 秒。是不是很神奇?同样的问题使用不同的算法竟然有如此之大的时间差距,这就是算法的魅力!
我们来回顾一下 章三种排序算法的时间复杂度。桶排序是最快的,它的时间复杂度是O(N+M);冒泡排序是 O(N 2);快速排序是 O(NlogN)。
