基变换

之前的我们都是在基向量为 $\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ 下表示向量和线性变换。一个很自然的想法，空间中的基向量有无数组，如果选择其他基向量作为我们的基向量，相应地，坐标系也会发生变动。已知一个向量在某组基向量下的坐标，如何表示其在另一个坐标系（基向量）下的坐标呢？这就涉及到基向量的相互转换了。

1.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 我坐标系向量

举个例子，我选择了一组基向量 $\vec{i_1}=\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\vec{j_1}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 。小丽选择了一组基向量 $\vec{i_2}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ ， $\vec{j_2}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$ 。上述基向量表示都是在我的坐标系下，而以小丽的视角来看（小丽的坐标系下），她选的基向量是 $\vec{i_2}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\vec{j_2}=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ 。

有了上面的前提，来看问题：

如果小丽坐标系下有一个向量表示为 $\vec{u}=\begin{bmatrix}-1\\2 \end{bmatrix}$ ，即 $\vec{u}=-1\vec{i_2}+2\vec{j_2}$ (以小丽的视角)，那么在我们的坐标系下 $\vec{u}$ 的坐标会是什么？

如下图所示：

小丽的向量变为我的向量

在给出的条件中，我们知道了线性变换 $A=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 表示将我们的基向量变换为小丽的基向量，也就是把我的坐标系变为了小丽的坐标系。但是，注意！

小丽的坐标系下的向量在变换之后仍然使用我们的“语言”(基向量)来描述。因此，小丽坐标系中的任一向量在进行变换 $A$ 后就变成了我“语言”表示的向量。

所以 $\vec{u}$ 的坐标是 $\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}$ (在我的坐标系下，用我的基向量表示)

我坐标系表示(-1,2)

看完了上述问题，大家可能会觉得疑惑，明明是：

$Question$ : 小丽坐标系下向量坐标 $\Longrightarrow$ 我坐标系下向量坐标

可是:
$answer$ :我坐标系 $\Longrightarrow$ 小丽坐标系（我的基向量表述）

大家不妨这么理解：

空间中向量想要相同，需要向量的方向和大小都相同。而坐标系这个东西只是我们为了方便研究而人为定义的，真实空间中并不存在任何坐标系。小丽的向量 $\vec{u}=\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ 在空间中的位置和大小都已经确定（在她的基向量下），而小丽和我的基向量在同一个坐标系下不相同，必然导致小丽的 $\vec{u}$ 和我的 $\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ 不是同一个向量。因此，要将我空间的 $\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ 变换为小丽的 $\vec{u}$ ，自然就需要进行一个线性变换，也就是把基向量用同一坐标系表示。这里就是把小丽的基向量转换为我的基向量表示。

相信大家这时候开始懵逼了，怎么出现了我坐标系下的 $\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ 呢？

因为小丽坐标系下的 $\vec{u}=\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ 已经在空间中确定好了，不管坐标系如何变，反正 $\vec{u}$ 的位置和大小不会变。而要找到 $\vec{u}$ 在我坐标系下的表示，自然就要从我坐标系下找一个向量(设为 $\vec{q}$ )，它在经变换后能够与 $\vec{u}$ 向量重叠。此时变换后的 $\vec{q}$ 向量即是 $\vec{u}$ 向量在我坐标系下的表示。

那 $\vec{q}$ 为什么偏偏是 $\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}$ ？为什么不是其他向量经变换后与 $\vec{u}$ 重叠？

线性空间中，向量是在基向量下表示的，不管基向量怎么变，向量对基向量的缩放倍数肯定是不变的，这在之前我的笔记1中有提到。也就是说小丽坐标系下
$\vec{u}=-1\vec{i_2}+2\vec{j_2}$

它在我坐标系下的坐标不是 $\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}$ ，但肯定能表示成 $-1 \begin{bmatrix} x_1\\y_1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}$ 的形式， $x_1，x_2，x_3，x_4$ 是两个基向量的坐标，它们可以是任意的。

我们想找到一个向量能跟 $\vec{u}$ 重叠，那么很好办了，在我坐标系下对基向量缩放倍数为 $-1$ ， $2$ 的就是 $\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$ 。只有它才能经线性变换后变为 $\vec{u}$ ，接下来就是之前的坐标计算了。

我坐标系下的向量

小丽坐标系下的向量

可能大家还是会觉得很绕很烧脑，没关系，多看几遍，最好是自己动手在纸上推演这个过程，相信一定可以弄懂的。

2.我坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

有了第一节的基础，那么第二节就很好理解了。

还是第一节的例子，不过此时情况反转了，已知我坐标系下的向量 $\vec{u}=\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}$ ，那么这个 $\vec{u}$ 在小丽坐标系下如何表示呢？我们设其为 $\vec{z}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ 。

用第一节的方式来理解，我坐标系下 $\vec{u}$ 为已知向量，同时小丽坐标系下也有一个 $\vec{v}=\begin{bmatrix} -4\\1\end{bmatrix}$ 向量，注意这俩个不是同一个向量，因为它们在空间中的方向和大小都不一样(两者基向量不同)。那么问题变为：

从 $\vec{v}$ 转换（想象成移动向量线段的箭头，尾部也就是原点保持不动）为 $\vec{z}$ 。

至于为什么可以这么变，大家可以看前一节的解释。

现在问题就简单了，在小丽坐标系下她的基变量是怎么变换的呢？自然就是第一节中线性变换的逆变换。也就是
$\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}^{-1}$

具体如下：
小丽的基向量 $\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ （小丽的坐标系下），变换为我的基向量（小丽的坐标系下），原本我们不知道我坐标系下 $\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 在小丽坐标系下如何表示，但是我们知道之前小丽坐标系下的基向量在我坐标系下如何表示，也就是
$\begin{bmatrix} 2&-1\\1&1\end{bmatrix}$

那么现在只要取逆就行，它表示将小丽的基向量移动到了我基向量原本所在的位置，同时用的小丽的坐标系表示。

逆变换

3.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

还有一种情况也是比较常见的，全程都在小丽的坐标系下进行变换，也就是说以我的视角来看基向量不是 $\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ 了。

这时候怎么潇洒地写出变换后的她坐标系向量呢？

直接写肯定不行，因为我们不知道小丽坐标系下基向量是如何变换的。我们只知道我坐标系下基向量是如何变换的。

那么只好曲线迂回了，回想下1、2节的情况，我们可以列出下列步骤：

她坐标系向量 $\Rightarrow$ 我坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

所以事情就简单了，按之前的1、2节来吧。

1.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 我坐标系向量
小丽坐标系下的任意向量 $\vec{v}$ ，经过第一节的变换，得到结果如下：
$\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\vec{v}$

变成了我坐标系下向量，那就好办了，我坐标系下可以观察到基向量，想怎么变就怎么变，一切都在我的掌控中:)

2.线性变换
假设她空间中坐标轴旋转了90度，也就是在我空间中旋转坐标轴90度。那么结果如下：
$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&-1\\1&1 \end{bmatrix}\vec{v}$

3.我坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量
直接用第二节的结论，得到：
$\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0&-1\\ 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\vec{v}$

看成一个线性变换

这就是最后的答案了，是用她坐标系表示的向量。是不是感觉很眼熟，来看下相似矩阵的定义：

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得
$P^{-1}AP=B$
则称矩阵A与B相似，记为A~B。

原来相似矩阵是指不同坐标系下的相同变换。它们的表达不一样，但效果却是一样的。都是对空间进行了相同的线性变换。例如上文说的都对空间旋转了90度。

4.参考

主要内容来源于b站up主@3Blue1Brown的线性代数的本质

码字不易，觉得有帮助的话还请点个喜欢哦~

线性代数的本质——笔记3

线性代数的本质——笔记3

基变换

1.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 我坐标系向量

2.我坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

3.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

4.参考

线性代数的本质——笔记3

基变换

1.她坐标系向量我坐标系向量

2.我坐标系向量她坐标系向量

3.她坐标系向量她坐标系向量

4.参考

1.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 我坐标系向量

2.我坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量

3.她坐标系向量 $\Rightarrow$ 她坐标系向量