1.条件期望
1.1期望
![]()
image
对比平均值和期望
平时常见的多是平均数的概念，平均数和期望两者既有联系也有区别，也容易弄混。
平均数是统计学概念，主体是特征样本。
期望是概率论概念，主体是随机变量。 平均数和期望可以通过大数定理联系起来：
用掷单个骰子的过程来展示大数定律，同时说明平均数（均值）和期望。随着投掷次数的增加，所有结果的均值趋于3.5（骰子点数的期望值）。不同时候做的这个实验会在投掷次数较小的时候（左部）会表现出不同的形状，当次数变得很大（右部）的时候，它们将会非常相似。
简而言之：
概率是频率随样本数趋于无穷的极限
期望是均值（平均数）随样本数趋于无穷的极限
1.2条件期望
![]()
image
EX是对所有ω∈Ω，X(ω)取值全体的加权平均 E(X|Y=y)是局限在ω∈{ω:Y(ω)=y}时，X(ω)取值局部的加权平均 对于局部理解：按照Y的不同取值，整个样本空间Ω被划分为n个互不相容的事件（Ω=∑B(j)）。因此E(X|Y=y)是在某一个{B(j)，j∈N}上X(ω)的局部加权平均。 引用：左超-条件数学期望
对比EX、E(X|Y)、E(X|Y=y)
EX是一个数值
E(X|Y)是一个关于Y的函数，没有固定的y值，是一个随机变量
E(X|Y=y)随着y的取值不同而不同, 但是只要y确定, 一定是个定值 Before we observe Y,we don't know the value of E(X|Y=y) so it is a random varible which we denote E(X|Y).因此(X|Y)是随机变量Y的函数，事实上，它只是局部平均{E(X|Y=y(j)),j∈N}的统一表达式。
引入E(X|Y)
显然E(X|Y=y(1)),E(X|Y=y(2)),....，依赖于Y=y(j),即依赖于全局样本空间的划分。这样，从样本空间Ω及对ω∈Ω可以变化的观点看，有必要引进一个新的随机变量，记为E(X|Y)。对于这个随机变量E(X|Y)，当Y=y时它的取值为E(X|Y=y)，称随机变量E(X|Y)为随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望。 引用：左超-条件数学期望
1.3迭代期望定律 该定律研究的是E(E(X|Y))是什么
![]()
image
推导过程
- 连续随机变量
证明中的 E(Y|x) 即 E(Y|X=x)，即连续型期望公式中的 "x" 当给定条件X时， 条件期望 E(Y|X) 是一个随机变量，有自己的分布 当给定条件X=x时， 条件概率 E(Y|X=x) 是一个函数，可以记为h(x)，像普通函数那样进行计算即可 两者联系即X会有一定的概率取值为x，此时E(Y|X=x) =h(x)，按照 h 的运算法则即可 （一个随机变量的期望取决于分布，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，进一步说每个分布对应唯一的期望）
引用：谭升-条件期望
- 离散随机变量
引用：《计量经济学及Stata应用》 陈强
-
Stata验证 image
grilic.dta下载地址 如上所示，无条件期望等于条件期望的加权平均，权重为条件“X=x”的概率
1.4条件期望的性质
![]()
image
注：对于性质2，Y在条件里，因此g(Y)就失去随机性，故期望可以去掉 引用：siwingyang-条件期望与条件方差
2.条件方差 ##2.1方差
![]()
image
2.2条件方差
![]()
image
引用：siwingyang-条件期望与条件方差 引用：《计量经济学及Stata应用》 陈强
2.3方差分解
![]()
image
