0. 定义
又叫二叉排序树(Binary Sort Tree)、二叉搜索树(Binary Search Tree)， 即BST
二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；
- 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
- 左、右子树也分别为二叉排序树；
1. 插入节点
插入的节点一定是叶子节点，可以直接和节点的key对比，然后递归搜索左/右子树即可
BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
if (t == NULL) {
t = new BiTree();
t->lchild = t->rchild = NULL;
t->key = key;
return t;
}
if (key < t->key) {
t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
} else {
t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
}
return t;
}
2. 删除节点
在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：
- 若
*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则可以直接删除此子结点。 - 若
*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。 - 若
*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：- 3.1 其一是令
*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树； - 3.2 其二是令
*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）－即让*f的左子树(如果有的话)成为*p左子树的最左下结点(如果有的话)，再让*f成为*p的左右结点的父结点。
- 3.1 其一是令
bool deleteBST(BiTree *t) {
BiTree *q, *s;
//如果只有右子树
if (t->lchild == NULL) {
q = t;
t = t->rchild;
delete q;
//如果只有左子树
} else if (t->rchild == NULL) {
q = t;
t = t->lchild;
delete q;
//左右子树都不为空
} else {
q = t;
s = t->lchild;
//找到节点t的前驱
while (s->rchild) {
q = s;
s = s->rchild;
}
//保存s的值
t->key = s->key;
//此时s的右子树为空，续接s的左子树
if (q != t) {
q->rchild = s->lchild;
} else {
q->lchild = s->lchild;
}
delete s;
}
return true;
}
3. 优化
- avl 树
- 二叉树 - 红黑树
3. 实现示例
完整代码
#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct BiTree {
int key;
BiTree *lchild;
BiTree *rchild;
};
//插入节点
BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
if (t == NULL) {
t = new BiTree();
t->lchild = t->rchild = NULL;
t->key = key;
return t;
}
if (key < t->key) {
t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
} else {
t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
}
return t;
}
//删除节点
bool deleteBST(BiTree *t) {
BiTree *q, *s;
if (t->lchild == NULL) {
q = t;
t = t->rchild;
delete q;
} else if (t->rchild == NULL) {
q = t;
t = t->lchild;
delete q;
} else {
q = t;
s = t->lchild;
while (s->rchild) {
q = s;
s = s->rchild;
}
t->key = s->key;
if (q != t) {
q->rchild = s->lchild;
} else {
q->lchild = s->lchild;
}
delete s;
}
return true;
}
//中序遍历
void print(BiTree *t) {
if (t != NULL) {
if (t->lchild != NULL) {
print(t->lchild);
}
printf("%3d", t->key);
if (t->rchild != NULL) {
print(t->rchild);
}
}
}
int main(int argc, const char *argv[]) {
int n, m;
BiTree *t = NULL;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> m;
t = insertBST(t, m);
}
print(t);
return 0;
}
