价值函数的近似表示：假如我们遇到复杂的状态集合呢？甚至很多时候，状态是连续的，那么就算离散化后，集合也很大，此时我们的传统方法，比如Q-Learning，根本无法在内存中维护这么大的一张Q表。

一个可行的建模方法是价值函数的近似表示。方法是我们引入一个状态价值函数v^, 这个函数由参数w描述，并接受状态s作为输入，计算后得到状态s的价值，即我们期望：

类似的

价值函数近似的方法很多，比如最简单的线性表示法，用ϕ(s)表示状态s的特征向量，则此时我们的状态价值函数可以近似表示为：

当然，除了线性表示法，我们还可以用决策树，最近邻，傅里叶变换，神经网络来表达我们的状态价值函数。而最常见，应用最广泛的表示方法是神经网络。因此后面我们的近似表达方法如果没有特别提到，都是指的神经网络的近似表示

对于神经网络，可以使用DNN，CNN或者RNN。没有特别的限制。如果把我们计算价值函数的神经网络看做一个黑盒子，那么整个近似过程可以看做下面这三种情况

对于Qlearning 采用上面右边的第三幅图的动作价值函数建模思路来做，现在我们叫它Deep Q-Learning。

和Q-Learning不同的地方在于，它的Q值的计算不是直接通过状态值s和动作来计算，而是通过上面讲到的Q网络来计算的。这个Q网络是一个神经网络，我们一般简称Deep Q-Learning为DQN。

　DQN的输入是我们的状态s对应的状态向量ϕ(s)， 输出是所有动作在该状态下的动作价值函数Q，主要使用的技巧是经验回放（experience replay）,即将每次和环境交互得到的奖励与状态更新情况都保存起来，用于后面目标Q值的更新。为什么需要经验回放呢？我们回忆一下Q-Learning，它是有一张Q表来保存所有的Q值的当前结果的，但是DQN是没有的，那么在做动作价值函数更新的时候，就需要其他的方法，这个方法就是经验回放。

通过经验回放得到的目标Q值和通过Q网络计算的Q值肯定是有误差的，那么我们可以通过梯度的反向传播来更新神经网络的参数w，当w收敛后，我们的就得到的近似的Q值计算方法，进而贪婪策略也就求出来了

f步和g步的Q值计算也都需要通过Q网络计算得到

DQN有个问题，就是它并不一定能保证Q网络的收敛，也就是说，我们不一定可以得到收敛后的Q网络参数。这会导致我们训练出的模型效果很差

进阶： Nature DQN：

注意到DQN(NIPS 2013)里面，我们使用的目标Q值的计算方式：

Nature DQN尝试用两个Q网络来减少目标Q值计算和要更新Q网络参数之间的依赖关系。下面我们来看看Nature DQN是怎么做的。

Nature DQN使用了两个Q网络，一个当前Q网络Q用来选择动作，更新模型参数，另一个目标Q网络Q′用于计算目标Q值。目标Q网络的网络参数不需要迭代更新，而是每隔一段时间从当前Q网络Q复制过来，即延时更新，这样可以减少目标Q值和当前的Q值相关性。

DDQN：

在DDQN之前，基本上所有的目标Q值都是通过贪婪法直接得到的  使用max虽然可以快速让Q值向可能的优化目标靠拢，但是很容易过犹不及，导致过度估计(Over Estimation)，所谓过度估计就是最终我们得到的算法模型有很大的偏差(bias)。为了解决这个问题， DDQN通过解耦目标Q值动作的选择和目标Q值的计算这两步，来达到消除过度估计的问题。

Nature DQN对于非终止状态，其目标Q值的计算式子是

在DDQN这里，不再是直接在目标Q网络里面找各个动作中最大Q值，而是先在当前Q网络中先找出最大Q值对应的动作，即

　然后利用这个选择出来的动作在目标网络里面去计算目标Q值。即

Prioritized Replay DQN：

Nature DQN， DDQN等，他们都是通过经验回放来采样，进而做目标Q值的计算的。在采样的时候，我们是一视同仁，在经验回放池里面的所有的样本都有相同的被采样到的概率。但是注意到在经验回放池里面的不同的样本由于TD误差的不同，对我们反向传播的作用是不一样的。TD误差越大，那么对我们反向传播的作用越大。而TD误差小的样本，由于TD误差小，对反向梯度的计算影响不大。在Q网络中，TD误差就是目标Q网络计算的目标Q值和当前Q网络计算的Q值之间的差距。

这样如果TD误差的绝对值|δ(t)|较大的样本更容易被采样，则我们的算法会比较容易收敛：

Prioritized Replay DQN根据每个样本的TD误差绝对值|δ(t)|，给定该样本的优先级正比于|δ(t)|，将这个优先级的值存入经验回放池。回忆下之前的DQN算法，我们仅仅只保存和环境交互得到的样本状态，动作，奖励等数据，没有优先级这个说法。由于引入了经验回放的优先级，那么Prioritized Replay DQN的经验回放池和之前的其他DQN算法的经验回放池就不一样了。因为这个优先级大小会影响它被采样的概率。在实际使用中，我们通常使用SumTree这样的二叉树结构来做我们的带优先级的经验回放池样本的存储。

这样保存有什么好处呢？主要是方便采样以上面的树结构为例，根节点是42，如果要采样一个样本，那么我们可以在[0,42]之间做均匀采样，采样到哪个区间，就是哪个样本。比如我们采样到了26， 在（25-29）这个区间，那么就是第四个叶子节点被采样到。而注意到第三个叶子节点优先级最高，是12，它的区间13-25也是最长的，会比其他节点更容易被采样到。

Prioritized Replay DQN和DDQN相比，收敛速度有了很大的提高，避免了一些没有价值的迭代，因此是一个不错的优化点。同时它也可以直接集成DDQN算法，所以是一个比较常用的DQN算法。

Dueling DQN：在Dueling DQN中，我们尝试通过优化神经网络的结构来优化算法，Dueling DQN考虑将Q网络分成两部分，第一部分是仅仅与状态S有关，与具体要采用的动作A无关，这部分我们叫做价值函数部分，第二部分同时与状态状态S和动作A有关，这部分叫做优势函数(Advantage Function)部分，最终我们的价值函数可以重新表示为：

其中，w是公共部分的网络参数，而α是价值函数独有部分的网络参数，而β是优势函数独有部分的网络参数

在Dueling DQN中，我们在后面加了两个子网络结构，分别对应上面上到价格函数网络部分和优势函数网络部分。对应上面右图所示。最终Q网络的输出由价格函数网络的输出和优势函数网络的输出线性组合得到。

DQN算是深度强化学习的中的主流流派，代表了Value-Based这一大类深度强化学习算法。但是它也有自己的一些问题，就是绝大多数DQN只能处理离散的动作集合，不能处理连续的动作集合。虽然NAF DQN可以解决这个问题，但是方法过于复杂了。而深度强化学习的另一个主流流派Policy-Based而可以较好的解决这个问题