常微分方程

一、一阶线性微分方程

一般形式：
$y'+p(x)y=Q(x)$
当 $Q(x)=0$ 时，则方程为齐次方程，反之为非齐次。

通解：
通解公式： $y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}+C]$

特解：
特解是将通解中的 $C$ 根据已知条件（定解条件）解出具体数，将 $C$ 的值带入通解，得特解。

几何意义：
用于求曲线方程

特别题型：
有些题目给出的为积分方程，则需要对积分方程求导，还原为微分方程。

涉及知识点：
变限积分求导

二、二阶常系数线性微分方程

2.1 齐次方程

一般形式： $y''+Py'+Qy=0 \qquad \color{red}{P和Q都为常数}$

求通解：

列出特征方程：
$r^2+Pr+Q=0 \qquad \color{red}{几阶导r就为几次幂}$
求特征根：
一元二次方程求根公式解出。
- $r_1 \neq r_2 \qquad y=C_1e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2x}$
- $r_1=r_2=r \qquad y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$
- $r=\alpha \pm i \beta \qquad y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

2.2 非齐次方程

一般形式： $y''+Py'+Qy=f(x) \qquad \color{red}{P和Q都为常数}$
*注：非齐次方程求通解与求齐次方程相同
非齐次方程考查形式分为两种：① 求特解形式。② 求特解。
二阶微分方程为形式一，且m次数 $\geq1\$ 次幂时，求 $y\ast''$ 一般非常复杂，则可以利用推导公式，代入数据减少出错。
非齐次的通解就是齐次通解和非齐次特解相加，即：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

形式一： $P_m(x)e^{\lambda x}$ 形式

求特解形式（非具体特解）：
方程一般形式： $y''+Py'+Qy=P_m(x)e^{\lambda x}$
则特解形式为：
$y^\ast=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$
其中 $k= \begin{cases} 0\quad\color{black}{当\lambda不是特征根}\\ 1\quad\color{black}{当\lambda是单特征根}\\ 2\quad\color{black}{当\lambda是二重特征根}\\ \end{cases}$
$Q_m(x)与P_m(x)都为m次的多项式(仅次数相同，值不一定相同)：$
$Q_m(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\ldots+a_{m-1}x+a_m$

特解推导公式：
$\left[ Q''+(p+2 \lambda)Q'+(\lambda p+\lambda^2 +q)Q \right]x^k +\left[(pk+2 \lambda k )Q+2kQ' \right]x^{k-1} +[(k^2-k)Q]x^{k-2}=P_m(x)$
$Q''$ ： $Q_m(x)$ 的二阶导数
$Q'$ ： $Q_m(x)$ 的一阶导数
$p$ ：原式 $y'$ 系数
$q$ ：原式 $y$ 系数
$k$ ：求根据 $\lambda$ 是否为特征根时确定 $k$ 的取值
$\lambda$ ：根据原式确定 $\lambda$ 的取值

解题思路：
①. 先求通解特征根 $r_1,r_2$ 。
②. 判断原式中 $\lambda$ 是否为特征根， $\lambda$ 与特征根一个相同则为单根，两个则为二重根，则决定 $k$ 的取值。
③. 根据 $P_m(x)$ 的次数，决定 $Q_m(x)$ 的次数，0次为常数 $a$ ，1次则为 $a+bx$ ，2次则为 $a+bx+cx^2$ 以此类推。
④. 确定 $k,\lambda,Q_m(x)$ 则带入 $y^\ast=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$ 得出特解 $y^\ast$ 。

形式二： $(a\cos\omega x+b\sin\omega x)e^{\lambda x}$ 形式

方程形式为： $y''+Py'+Qy=(a\cos\omega x+b\sin\omega x)e^{\lambda x}$
则特解形式为：
$y^\ast=x^k(A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{\lambda x}\qquad \color{red}{A,B与原式a,b是不同的}$
其中 $k=\begin{cases} 0\quad\color{black}{当\lambda \pm i \omega不是特征根} \\ 1\quad\color{black}{当\lambda \pm i \omega是特征根} \\ \end{cases}$
解题思路：
①. 先求通解特征根 $r_1,r_2$ 。
②. 判断原式中 $\lambda \pm i \omega$ 是否为特征根，决定 $k$ 的取值。
③. 确定 $k,\lambda$ 则带入 $y^\ast=x^k(A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{\lambda x}$ 得出特解 $y^\ast$ 。

特别题型：

形式一与形式二加起来的形式。
例如 $y''-y'=e^x+4\cos x$ 可以拆解为两种形式分别计算：
$\begin{cases} y''-y'=e^x \qquad y^\ast_1=x\cdot Ae^x \\ y''-y'=4\cos x \qquad y^\ast_2=B \cos x+C \sin x \\ \end{cases}$
则原方程特解形式就为两种形式之和 $y^*=Axe^x + B\cos x+C \sin x$