2021-04-21 四元数简介

四元数创始人是爱尔兰数学家哈密尔顿，起因是为了研究复数在三维空间的推广物；据说是某个桥上散步突然领悟到四元数核心公式，但实际早年在高斯的手稿中就出现过类似公式而未发表

四元数看似简单，实际上内涵十分丰富，哈密尔顿花了10余年研究四元数，写下了800多页的文章。

基本公式如下 $i,j,k$ 是三个不同的虚单位
$i^2=j^2=k^2=-1$
$ij=k, jk=i,ki=j$

除了以上基本公式之外，我们不加证明的假设
对任意实数 $x$ ,有 $xi=ix ,xj=jx,xk=kx$ ，并把这个也并入基本公式

一般四元数表示法为 $s+xi+yj+zk$ 其中 $s,x,y,z$ 为实数; $s$ 称为该四元数的实部
四元数除了乘法交换律不满足之外，满足加法交换律，加法结合律，乘法分配率和乘法结合律

下面我们把基本公式和四元数满足的计算律作为公理，来推导四元数的一些性质。

下文中，我们一般的用， $x,y,z,s$ 表示实数，用 $p,q$ 等表示一般的四元数，用 $i,j,k$ 表示虚单位 ,用 $\vec u ,\vec v$ 等表示实部为0的四元数 ; 同时，显然所有这些都是四元数

1,首先,根据基本公式:
$ji=(-1)j(-1)i =(-1)jkki=(-1)ij =-ij = -k;$
类似，可得 $kj = -i , ik = -j$

2, 给定两个实部为0的四元数: $\vec v_1 = x_1i+y_1j+z_1k, \vec v_2 = x_2i+y_2j+z_2k$ 其乘积为:
$\vec v_1\vec v_2$
$=(x_1i+y_1j+z_1k)(x_2i+y_2j+z_2k)$
$= -(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)$
$+ (x_1y_2-x_2y_1)k +(y_1z_2-y_2z_1)i +(z_1x_2-x_2z_1)j \quad (1)$

如果我们记
$\vec v_1 \cdot \vec v_2$
$=(x_1i+y_1j+z_1k) \cdot (x_2i+y_2j+z_1k)$
$:=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \quad (2)$

$\vec v_1 \times \vec v_2$
$=(x_1i+y_1j+z_1k)\times (x_2i+y_2j+z_2k)$
$:= (x_1y_2-x_2y_1)k +(y_1z_2-y_2z_1)i +(z_1x_2-x_2z_1)j \quad (3)$
[注:可以看出这些与向量点乘和叉乘表现形式完全相同,但是除了表现形式之外，我们在这里暂时还不能认为它们有任何实质上一样的地方]

同时，把任意四元数 $q = s+xi+yj+zk$ 分解为两部分:
$s+xi+yj+zk = s+(xi+yj+zk) = s+\vec v$

结合 $(1),(2),(3)$ ，可以得到:
$q_1q_2$
$= (s_1+\vec v_1) (s_2+\vec v_2)$
$=s_1s_2 + s_1\vec v_2 + s_2\vec v_1 + \vec v_1 \vec v_2$
$= s_1s_2+ s_1\vec v_2 + s_2\vec v_1 - \vec v_1\cdot \vec v_2 + \vec v_1\times \vec v_2$
$= (s_1s_2-\vec v_1\cdot \vec v_2)+(s_1\vec v_2+s_2\vec v_1+\vec v_1\times \vec v_2)$

就得到了经典的四元数乘法公式

下面给出共轭四元数的定义：
给定四元数 $q= s+\vec v$
其共轭四元数为: $\overline q = s-\vec v$

四元数的范数为
设 $q= s+\vec v = s+xi+yj+zk$
$\Vert q \Vert := \sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}$

据此，我们可以得到公式, $\Vert q \Vert = \sqrt{q\overline q} = \sqrt{\overline q q}$
证明:
$q\overline q = (s+\vec v)(s-\vec v)$
$= (ss+\vec v\cdot \vec v)+(s(-\vec v)+s\vec v + \vec v \times (-\vec v))$
$= (ss+xx+yy+zz) \quad (4)$
将 $\vec v$ 和 $-\vec v$ 对换，可得:
$\overline q q = (ss+xx+yy+zz) \quad (5)$
证明完毕

范数为1的四元数称为单位四元数

四元数 $q$ 的逆记为 $q^{-1}$
其定义为: $q^{-1}:= \overline q/\Vert q \Vert ^2$
根据 $(4),(5)$ ，有 $qq^{-1} = q^{-1}q = 1$

至此，我们完成了四元数基本公式的推理，四元数可以表示三维空间的旋转，并且可以进行球面线性插值，关于三维空间旋转以及四元数相关的体系要做完整全面的论述较为复杂，涉及到很多数学知识，笔者暂时没有时间梳理这一切，因此，关于旋转和四元数插值暂时先引入两个比较好的外链，利用上文的基本公式，不难理解这里面的论述

四元数旋转:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/78987582
四元数插值
https://zhuanlan.zhihu.com/p/343095440

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2021-04-21 四元数简介

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