- 行列式的计算
- 对角化
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按行/列展开
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行列式的性质
|AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|
|A| = 0，A称为奇异矩阵，否则A称为非奇异矩阵。 -
行列式与线性方程组的关系
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矩阵转置
矩阵的逆
( A | E )→( E | A-1)
矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。
若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)-1 = B-1A-1
若A可逆，则AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T
|A-1| = |A|-1-
旋转矩阵
矩阵相关概念
- 相抵：如果矩阵A可以经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B，则称A与B是相抵。
- 相合：对两个n阶方阵A和B，若存在一个可逆方阵P，使得B = PTAP，则称B和A为实相合。相合是相抵的一种特殊情况，因此AB相合→rank(A) = rank(B)。
对称方阵：A = AT
反对称方阵：A = -AT
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，称M为正定矩阵。
- 特征值和特征向量
对于方阵A，若Aα = λα，则λ称为A的特征值，α为A对应于特征值λ的特征向量。
满足| λE -A | = 0的λ都是A的特征值；
方程( λE -A )x = 0的任意非零解向量都是对应于λ的特征向量。
性质：
- A与AT具有相同的特征值。
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属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
- 线性方程组
n元非齐次线性方程组 Ax = b
- 无解的充要条件：R(A) < R(A, b)
- 有唯一解的充要条件：R(A) = R(A, b) = n
- 有无限多解的充要条件：R(A) = R(A, b) < n
- 向量组
向量组A和向量组B等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)
