9 多项式的表达式及其操作
9.1 多项式的表达式和创建
1．多项式的表达式
MATLAB用一个行向量来表示多项式，此行向量就是将幂指数降序排列之后多项式各项的系数。例如，考虑下面的表达式：
这就是Wallis在他第一次在法国科学院提出牛顿法的时候所用的多项式。在MATLAB中，该多项式可以用以下命令来输入：
>> p = [1 0 -2 -5];
这个表达式的含义就是的系数为1，的系数为0（原公式中无此项，需补足为0），的系数为-2，常数项为-5。
2．多项式行向量的创建方法
多项式系数向量的直接输入法就是按照多项式表达式的约定，把多项式的各项系数一次排放在行向量的元素位置上。
正如前面所提到的：多项式的系数要以降幂顺序排列，假如多项式中缺少了某一幂次，那么就认为该幂次的系数为零。
利用命令P=poly(A)生成多项式系数向量。若A是方阵，多项式P就是该方阵的特征多项式。若A是一个向量， A的元素就被认为是多项式P的根。
【例2-36】 求 3 阶方阵 A 的特征多项式。
>>A=[11 12 13;14 15 16;17 18 19];
>>PA=poly(A) % A的特征多项式
>>PPA=poly2str(PA,'s') % 以较为习惯的方式显示多项式
PA =
1.0000 -45.0000 -18.0000 0.0000
PPA =
s^3 - 45 s^2 - 18 s +1.6206e-014
【例2-37】 由给定根向量求多项式系数向量。
>> R=[-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i]; % 根向量
>> P=poly(R) % R 的特征多项式
P =
1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
>> PR=real(P) % 求 PR的实部
PR =
1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
>> PPR=poly2str(PR,'x')
PPR =
x^3 + 1.1x^2 + 0.55 x + 0.125
需要指出的是：要形成实系数多项式，则根向两种的复数根必须共轭成对；含复数的根向量所生成的多项式系数向量（如P）的系数有可能带在截断误差数量级的虚部，此时可以采用取实部的函数real来将此虚部滤掉。
9.2 多项式运算函数
常用的多项式运算所涉及到的函数见表2-11。
表2-11 多项式运算函数
函数形式
函数功能
函数形式
函数功能
conv
卷积和多项式乘法
polyint
解析多项式积分
deconv
去卷积和多项式除法
polyval
按数组运算规则计算多项式值
poly
求具有指定根的多项式
polyvalm
按矩阵运算规则计算多项式值
polyder
多项式求导
residue
部分分式展开式和多项式系数之间转换
polyeig
多项式本征值
roots
多项式的根
polyfit
多项式拟合
【例2-38】 求
的“商”及“余”多项式。
>> p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1])); % 计算分子多项式
>> p2=[1 0 1 1]; % 注意缺项补零
>> [q,r]=deconv(p1,p2);
>> cq=' 商多项式为 ';
>> cr=' 余多项式为 ';
>> disp([cq,poly2str(q,'s')]),disp([cr,poly2str(r,'s')]) % 显示运算结果
运行的结果如下：
商多项式为 s + 5
余多项式为 5 s^2 + 4 s + 3
【例2-39】 两种多项式求值指令的差别示例。
>> S=pascal(4) % 生成一个 4 阶方阵
S =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> P=poly(S);
>> PP=poly2str(P,'s')
PP =
s^4 - 29s^3 + 72 s^2 - 29 s + 1
>> PA=polyval(P,S) % 独立变量取数组 S 元素时的多项式值
PA =
1.0e+004 *
0.0016 0.0016 0.0016 0.0016
0.0016 0.0015 -0.0140 -0.0563
0.0016 -0.0140 -0.2549 -1.2089
0.0016 -0.0563 -1.2089 -4.3779
>> PM=polyvalm(P,S) % 独立变量取矩阵 S 时的多项式值
PM =
1.0e-010 *
-0.0013 -0.0063 -0.0104 -0.0241
-0.0048 -0.0217 -0.0358 -0.0795
-0.0114 -0.0510 -0.0818 -0.1805
-0.0228 -0.0970 -0.1553 -0.3396
从理论上讲，PM应该为零。这就是著名的“Caylay-Hamilton”定理：任何一个矩阵满足它自己的特征多项式方程。本例中的PM的元素都很小，这是由截断误差造成的。
【例2-40】 部分分式展开示例。
>> a=[1,3,4,2,7,2]; % 分母多项式系数向量
>> b=[3,2,5,4,6]; % 分子多项式系数向量
>> [r,s,k]=residue(b,a)
r =
1.1274 +1.1513i
1.1274 -1.1513i
-0.0232 -0.0722i
-0.0232 +0.0722i
0.7916
s =
-1.7680 +1.2673i
-1.7680 -1.2673i
0.4176 +1.1130i
0.4176 -1.1130i
-0.2991
k =
[]
本例中的k是空阵，这说明分母的阶数高于分子。另外从计算数学上来讲，如果某些根很靠近，极点和留数的计算受截断误差的影响会比较大，此时用这种表达方式的数值稳定性不如用状态方程或零点、极点展开可靠。
