案例1：研究究高血压患者血压与性别、年龄、身高、体重等变量的关系，随机测量了32名40岁以上的血压y、年龄X1、体重指数X2、性别X3，试建立多重线性回归方程。数据文件见mreg.sav。
多因素线性回归应用条件
线性（linear）、独立性（independent）、正态性（normal）、方差齐性（equal variance）----LINE
线性—自变量与应变量的关系是线性的。用散点图判断
独立性—任意两个（残差）观察值互相独立。常利用专业知识判断
正态性—要求残差服从正态分布。常用残差图分析
差齐性—要求残差的方差齐性。用散点图或残差图判断
多因素线性回归分析步骤
1.线性关系描述（包括散点图）
2.用各变量的数据建立线性回归方程
3.对总的方程进行假设检验
案例分析
1.根据知识判断三个自变量，在理论上是否可能会影响血压的改变
2.与简单线性回归相类似，先绘制散点图，以便在进行回归分析之前了解各变量之间是否存在线性关系。
3.本例有2个连续性定量自变量与一个反应变量，绘制散点图矩阵，如下。二分类或无序多分类，无需散点图。
第一步：散点图
SPSS路径：Graphs→ Legacy Dialogs → Scatter/Dot→ matrix scatter
第二步：多因素线性回归分析
SPSS路径：Analyze→ regression → linear
第三步：结果解读
结果1：
模型拟合优度情况，调整R^2=0.775，说明对真实世界模拟度好
Durbin-Watson值=1.969，在1-3之间，独立性符合
结果2：
本例F=36.542，P<0.001，说明至少有一个自变量解释了一部分的因变量的变异，模型成功建立，模型具有统计学意义。
结果3：
①回归系数b值，统计学上称为偏回归系数
②回归系数的抽样误差，即标准误
③Beta值，它是标准化b值，标准化回归系数。可以用来比较各个自变量x对y的影响程度。它回答以下问题：年龄、性别和体重指数，到底谁对y的影响更大。在本例中，年龄对血压的改变影响最大（它解释了血压最大程度的变异）。
④t值，是各个回归系数进行假设检验的检验统计量，线性回归检验统计量为t值。
⑤显著性：即P值。P<0.05说明自变量与因变量回归关系成立，有关系，有影响。
本研究结果显示，年龄对血压的影响的存在着统计学差异（b=0.99，t=3.22，P<0.001）；这意味着年龄每增加一个单位（在本研究中一单位等于一岁），血压将上升0.99个单位
本研究结果显示，BMI对血压的影响的存在着统计学差异（b=1.08，t=2.14，P=0.041）；这意味着BMI每增加一个单位，血压将上升1.08个单位
本研究结果显示，（b=-9.327， t=-3.72，P=0.002）男性=1，女性=2，女性相对男性，血压低9.33个单位；男性是高血压危险因素（对照组为低值组）
多因素回归分析结果表达
纳入年龄、体重指数和性别构建多因素线性回归方程。结果发现，不同年龄(岁)对血压的影响有统计学差异（b=0.99,95%CI 0.36-1.62，t=3.22，P<0.001），不同的性别（男性较女性）对血压的影响有统计学差异（b=-9.33，95%CI -14.47- -4.19，t=3.22，P=0.003），不同的体重指数对血压的影响有统计学差异（b=1.08,95%CI 0.05-2.11，t=2.14，P=0.041）。
结果4：
结果5：
残差直方图：本例残差均数接近于0，标准差接近于1，数据呈正态分布（标准正态分布）
结果6：
残差图。本例从图形来看，标准化残差图分布在0值周围，基本是上下对称分布，分布特征不随预测值的增加而发生改变，意味着数据方差齐性、独立性条件符合。
线性回归分析注意事项：
1.线性回归分析LINE条件不成立怎么办？
•线性：如果X和Y的关系是非线性的关系（如曲线关系），则回归系数b值无法值正确反映X和Y 的关系（X是二分类、无序多分类除外）
处理方法：将X转为哑变量处理（分类），或者曲线回归，或者对自变量x进行转换(指数转换x^3，或者对数转换log(x)等)。
•正态性：如果残差不符合正态性（一般是严重偏态分布），则可以考虑对y或者x进行数据转换（比如BOX-COX转换），推动残差正态分布；或将y转成2分类或多分类数据采用logistic回归
方差不齐：方差不齐可以采用其他方法估计回归系数，常见的如加权最小二乘法估计回归系数
•独立性：如果独立性条件不符合，则采用非独立性的数据分析方法，比如线性混合模型、多水平模型、广义估计方程等。
数据不符合要求者，一定要谨慎开展线性回归分析。
2. 回归分析R^2很小怎么办？
医学研究线性回归有几个重要的用途，其中两个分别是预测结局，探讨影响因素。
目的是预测的线性回归，R^2非常重要，R^2越高，模型预测效果越好，所以经济学领域特别看中R^2。
医学研究开展回归模型，最大的目的是探讨影响因素（或者控制混杂）。在这个目的是，R^2无论大小，都不太影响结果。探讨影响因素，首要探讨的是某一个因素在假设检验中P值到底是否小于0.05。
有人说R^2这么小，建模有什么意思？我倒反驳说，就凭医学研究的那几个指标，你就想预测如此复杂的医学现象？痴人说梦！
所以，诸位不必纠结R^2是不是过小了！R^2虽好，不必苛求。
3.回归分析还需注意异常值
在实践中，科研工作者鉴别数据异常值是统计分析前首先要完成的工作，否则会导致前功尽弃，得不偿失。比如下图：虚线是代表受异常值影响而偏离的回归线。
异常值数据的识别可以通过简单、直观、有效的散点图，也可以计算相关统计量（比如残差或者广义平方距离获得）来反映。
发现可能的异常数据，不宜草率删除，应该仔细审查这些可能异常数据的获得过程。
•实验失误、记录错误或者录入错误等造成，考虑删除或者重新测量；
•若异常值便是个体本身造成，不便删除，否则会扭曲真实结果。
为什么多因素回归分析结果和单因素回归分析结果不一致？
原因在于，多因素回归分析时自变量直接存在相关性，或者很多时候我们说是多重共线性（即使程度很轻）。变量与变量复杂的关系，将影响模型构建的成功率，造成回归系数变动。
若变量之间没有相关，对于某一个自变量而言，多因素和单因素回归分析结果一致；
若存在着关系，当控制其它自变量不变时，多因素回归分析结果与单因素回归存在着一定的差异。
举例：探讨BMI与结局的关系
单因素结果如下：b=1.506，P<0.001
纳入年龄后，结果截然不同：b=0.564，P=0.064
说明：年龄对BMI有影响，同时年龄对血压也有影响，而多因素回归当控制年龄不变时，两者之间的关系就不复存在。
医学上称年龄为混杂因素。
多因素回归法分析较单因素回归更能有效控制混杂因素，从而更为准确地探讨自变量对因变量的影响
