导数的概念3

什么是极限

我们先来确认一下数学中极限一词的含义。
日常生活中常用极限一词表示极限状态。所谓极限状态就是
“已经没有余地了”、“再不可能了”这种接近界限的感觉。比如，暑假到最后一天了，但作业还没有做，憋不住了却找不到厕所…
此时通常人们都会想：“不行了！不行了！”
我想大家都有过类似的经历。其实想尽量避免的困窘状态就是一种极限状态。
那数学中的极限是否与此相同呢？
如果极限表示“不行了”、“到头了”，那么此时应该是无法解决数学问题才对。
数学的极限是怎样一种感觉呢？
请想象一下高尔夫球的比赛，球可以距离球洞多近：还有在10秒钟速算比赛中，选手感觉到的时间与实际时间的差距有多短，这些比赛都是在考察“能在哪种程度上接近目标”。
数学中的极限就包含有“尽可能接近”这一积极的含义。

什么是无限接近

某物（数值）向他物（数值）无限接近的状态可用下面这个算式表示。
$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$
我突然写出个算式来，你是不是感觉有些惊讶？这个算式表示“当x无限接近a，f（x）就会接近b”。有人可能会说：“你怎么突然讲这么抽象的事，实在……”那么我一点点来解释。
首先是lim，它是limit的缩写。limit有极限之意，lim下写的小字表示“使什么向什么靠近”，因此上面那个算式的意思就是“使x向a靠近”。在讲述计算方法之前，我们先举例找找感觉。
$\lim _{啤酒杯数 \rightarrow 10杯} f(啤酒杯数)=烂醉$
找到点感觉了吗？这是用啤酒饮用量函数表示醉酒程度，意思是“啤酒喝到接近10杯，人就接近烂醉状态”。下面的例子比较严肃，但也可以找到些感觉。
$\lim _{工作 \rightarrow 每天加班} f(工作)=过劳$
这是表示疲劳程度的函数式。意思是“越接近每天加班，因过度疲劳而病倒的日子越近"。
综上所述，一个值无限接近另外一个值的状态就是极限。不会计算没关系，能够找到这种感觉就可以了。

怎样用数学算式表示极限

找到极限的感觉后，这次我们试试从数学的角度来研究极限。
请看看下面的算式。

例1：
$\lim_{n\rightarrow 1}(1-n)$
算式表示“使n无限接近1”。n无限接近1，则1-n无限接近1-1，也就是无限接近0。再看下一个。

例2：
$\lim_{n\rightarrow 1}\frac{1}{n}$
n无限接近1，则 $\frac{1}{n}$ 无限接近 $\frac{1}{1}$ ，也就是无限接近1.

再来个难一些的。

例3：
$\lim_{n\rightarrow 1}(n^2-3n+2)$
难度增加了，但只要按相同方式思考就可以迎刃而解。n无限接近1，则 $n^2-3n+2$ 无限接近 $1^2-3\times1+2$ ,也就是0.因此结果是无限接近0。

最后一个。

例4：
$\lim_{n\rightarrow 1}\frac{n^2-3n+2}{n-1}$
与前三个不同，这个可没那么简单。分子与前一个算式相同，接近于0，但分母也接近于0.

咦，答案是 $\frac{0}{0}$ ?有分母为0的分数吗？没有。0为分数违反了算术规则，这样的分数不存在。

那该怎样好呢？实际上这个分数的分子可以因式分解。
$\lim_{n\rightarrow 1}\frac{n^2-3n+2}{n-1}=\lim_{n\rightarrow 1}\frac{(n-1)(n-2)}{n-1}$
分子分母中都含有n-1,可以进行约分。

准确地说，因为lim情况下，n-1无限接近于0，但并不等于0，所以可以进行约分。

约分后剩下n-2,所以答案是无限接近-1。

最后一道题稍有些专业，目的是先让大家简单接触一下计算。

最后编辑于：2019.03.17 15:40:00