上一篇提到过计算机只会做加法。减法在计算机的实现比较加法复杂一些，因为减法有借位的情况。下面从十进制的减法开始说起，然后延伸到二进制中的减法。
十进制中的减法
在十进制减法中，比如253 - 176，如果按照常规思路来做减法，肯定会涉及到借位，但是如果想通过一连串的逻辑门来实现这个借位的逻辑基本不可能。所以这里换一种思路，避免在减法中借位，具体原理就是利用在减法后面加一个数减一个数结果不变，具体这个数是什么和进制有关。
比如上面253 - 176做减法的过程如下：
- 用999减去减数176
（999-176 = 823）：由于操作数是三位数，所以这里用了999，如果是四位则用9999。以此类推，从一串9中减去一个数叫做对9求补数。这样做的好处就是无论减数是多少，计算对9的补数都不需要借位。 - 将计算减数对9的补数与原来的被减数相加：
（823 + 253 = 1076） - 将结果加1，并减去1000。
（1076 + 1 - 1000 ）= 77。注意，这里两个数的第一位都是1，所以可以看做就是1077舍去第一位就是作为的结果
通过上面的步骤我们没有通过借位而得到了正确的结果。其实原理很简单，式子的变化过程如下：
1. 253 - 176
2. 253 - 176 + 1000 - 1000
3. 253 - 176 + 999 + 1 - 1000
4. 253 + (999 - 176) + 1 - 1000
最终结果是我们用两个减法和两个加法来替代一个减法，在这个过程中避免了繁琐的借位。
如果被减数小于减数又不一样，比如176 - 253。基本思路就是将减数与被减速交换执行减法，然后给结果取一个反。计算步骤如下：
- 用999减去253，计算出对9的补数。
999 - 253 = 746 - 把该数对9的补数与被减速相加。
176 + 746 = 922 - 这部和之前不同，因为加1减去1000还是小减大。这里改为直接减去999，因为之前加了个999。但是这里还是负数，把减数与被减速交交换，用999减去922等于77，和预期结果一样。
1. 176 - 253
2. 176 - 253 + 999 - 999
3. - (999 - ((999 - 253)+ 176) )
最后需要加个负号。通过上面的步骤同样避免了借位
二进制中的减法
上面
253 - 176对应到二进制的减法就是11111101 - 10110000。思路和十进制一样。用多个减法与加法来避免借位的情况。十进制中9做减法不用借位，二进制中1做减法不用借位。最后都需要减去最开始在末尾加的数（十进制是十的倍数，二进制是二的倍数）
- 第一步用255（1111 1111）减去减数。
1111 1111 - 1011 0000 = 0100 1111：十进制中是在一串9中减去，结果为9的补数，二进制中减数是从一串1中减去的，结果为1的补数。对在求1的补数时，并不需要减法。只需要将原来二进制数中的1变为0，0变为1即可。因此对1求补数也叫取反码。是否联想到了反向器的作用。 - 将减数对1的补数与被减数相加：
1111 1101 + 0100 1111 = 1010 0110 0 - 将上面所得结果加1：
1010 0110 0 + 1 = 1010 0110 1。这里为什么要加1，因为之间用的1111 11111 和后面减去的256（1000 000 0）相差1。得保证加的和减去的一样。 - 减去256（1000 0000 0）：
1010 0110 1 - 1000 0000 0= 1001101换算为十进制就是77。注意，这里两个数的第一位都是1，所以可以看做就是1010 0110 0舍去第一位就是作为的结果
注意为什么这里用255（1111 1111）。想一想十进制为什么用一串9，因为9是十进制中最大的了，用它来做减法不会出现借位的情况。二进制也一样，用1来充当临时的加减数，同样也不会出现借位的情况。
如果出现了在二进制中出现了被减数小于减数呢。
同样用176 - 253举例子
- 用1111 1111减去减数，得到对应的补数。0000 0010。
- 将减数对1的补数与被减数相加：
1011 0000 +0000 0010 = 1011 0010 - 改成在减数小于被减数的时候我们通过将结果加1再减去1000 0000 0实现的。但是这里无法在不借位的情况实现，所以先用1111 1111减去1011 0010等于0100 1101。这里又取了一次反，但这个时候结果为77，而真正答案是-77
到这里计算机中实现减法的方法介绍完了，接下来就是讲讲在逻辑电路中怎么实现。
减法电路的实现
在二进制的减法中，取补码是一个非常重要的过程。可以简单的用八个反向器实现。但是我们是做一台既可以做加法也能做减法的机器。因此需要让电流控制取反。可以通过异或门实现。联想一下异或门的真值表
当一侧输入为1的时候，刚好输出结果取反。对应电流如下：
八个异或门合并起来的器件叫做求补器。符号如下：
这里输入为0则把数据直接输出，为1才取反。
将一个求补器，一个8位二进制加法器和一个异或门做如下连接。
注意这里有是三个信号都标识为SUB，代表加/减转换开关。当信号为0的时候就是做加法，为1就是做减法。
说各个SUB的含义
- 上边的SUB：决定是否取反，为0做加法不取反，为1做减法要取反。
- 右边的SUB：决定进位输入，做减法是需要将CI设为1，结合做减法的过程理解，比如上面的例子是将256拆分为了1加255的。在做加法时,CI为0。
- 左边的SUB：决定是否溢出，做减法时，如果减数小于被减数，这时加法器的CO输出为1。这表示减法的最后一步减去1000 00000。也就是减数要大于被减数结果为负数。现在还不能表示负数，左边的SUB仅仅在加法器的CO输出为0时才会亮起。
虽然现在还没有解决减法如何实现的问题。得解决负数在二进制中如何表示。
表示负数
在十进制中表示负数的方法如下：
...-1000, -999 ,... -1, 0, 1, 999, 1000
好处在于能表示所有的正数和负数。将0视为无限延伸序列的重点，正数沿着一个方向，负数沿着一个方向。
但是我们并不需要无限大或者无限小的数，比如我们一开始就知道这个数的范围。
一个简单的例子，假如你的余额宝（这里不计算几分钱）最多不超过5000，同时你可以透支5000。意思就是你的余额宝账号应该是在-5000到4999之间。所以这里用到的最大的数为4999，从5000到9999的四位位数就可以表示负数。
比如用5000表示-5000，5001表示-4999， ....， 9999表示-1，0001表示1， 0002 表示2，4999表示4999。
-5000，-4999，-4998，...，-1，1，2，4998，4999
5000， 5001， 5002，...，9999，0001，0002，...，4998，4999
这就形成了一个循环排序，最小负数5000看起来像最大正数4999的延续。这里的9999是比0小1的数。加上1得到10000。由于处理的是四位数，这个结果实际上就是0000.
这种方式叫做10的补数表示法。（为了简化问题这里用三位数了）将三位负数转为10的补数，再用999减去他再加1。也就是10求补数就是对9求补数在加1。比如-255对10求补，用999减去255加1得到745。这个745就表示-255。
利用10的补数，不再用到减法，所有的步骤全部用加法进行。
同样的可以把这种机制运用到二进制中，被称作为2的补数。这里以8位二进制位例，范围是0000 0000 到1111 1111。对应十进制中的0到255。如果还想表示负数，则以1开头的每个八位数都表示一个负数。
现在表述数的范围是-128到127，最高位作为符号位，1表示负数，0表示正数。
为了求2的补数，需要先计算1的补数然后再加1。这个步骤和求10的补数一样。等价于将每一位取反然后加1。
比如125二进制位0111 1101，为了表示-125对2的补数。先取反，得到1000 0010，然后加1得到1000 0011，可以根据上表用同样的步骤每一位取反然后加一可以将数值还原。
现在可以自由的将正数和负数相加了，将-127和124等价的二进制相加。1000 0001 + 0111 1100等于1111 1101等于十进制的-3。
注意：涉及到上溢和下溢的情况，比如125+125= 1111 1010由于最高位为1，结果表示负数了。相当于十进制-6了。
一般来讲，在加法中。两个操作数符号相同，而结果符号与操作数的符号不同，这样的加法无效。
看到现在，有些同学是否已经知道了大学老师讲的溢出是什么意思了吧。二进制可以有符号或者无符号。无符号8位二级制表示范围0到255。有符号的8位二进制表示范围是-128到127。所以当给你一个二进制问你代表十进制多少的时候，一定要确定是否有符号。
写在最后
至此，计算中二进制的加法与减法的实现介绍完毕了。当初看似复杂的东西，多看几遍也就不复杂了。探索计算机底层仍在继续......
