0. 前言

我们采用nil代替null来简化操作。如果你之前学过，有一些印象，那跟随本文从上到下画一画插入与删除的全过程，也能加深你的印象与熟练程度。

插入和删除的主逻辑，与前面的文章——红黑树01——前传-二叉搜索树中基本一致，只是特别处理了一下nil。最大的不同是，当插入结点和它的父结点都为红色时，违反了红黑树的属性，需要重新调整，共有3种情况（应该是6种，因为是对称的，所以只讨论一半）；删除结点时若涉及到黑结点的删除（或替换），会导致一侧黑结点数目减少，违反了红黑树的规则，所以也需要调整，共有4种情况。

本章内容比较长，如果看得吃力了，可以暂时停下休息一会，回头再看。但长不可怕，可怕的是看不懂，所以本文中我尽可能地把各个操作的前因后果讲清楚，不像很多书上直接告诉你最终怎么做，但不知道原理所以一直记不住。希望大家能耐心看下去，经过测试，我给部分同学讲过之后，能轻松记住整个过程，且能写出来全部代码。一定要坚持看完弄懂，不要觉得麻烦就不看了，请相信我，欠下的债迟早要还的。

1. 插入后的调整

为了便于说明，设新插入结点为x，x的父结点为p，p的父结点为pp，p的兄弟结点为pb，pb的左孩子为pbl, pb的右孩子为pbr。因为对称性，我们这里只讨论p == pp.left的情况。已经x和p当前均为红色，pp肯定为黑色。这一系列的字母，直接这样看下去肯定会晕的，所以请画出来，自己边画边往下读。也可以直接根据结论看文章后面的示例，再回头来看这里讨论的原因。

回到主题：因为有两个红色结点，我们需要把其中一个变成黑色。但置黑的肯定不是x，因为新插入的结点是红色（为什么新插入的是红色呢，因为如果不插入红色的话，那就没有红色了。但为什么不担心没有黑色了呢？因为强制规定——根为黑色，所以能保证一定有黑色），所以我们将p置黑。

但这样pp的左子树就多了一个黑色，违反规则，现在要想办法减少左边的黑色，前面已分析了，x本身不能变，故只能使pp置红。但又导致右边少一个黑色，所以需要把右边的黑色加上来，有两种办法：

1. 若pb为红色，将pb置黑即可。因为pp置红了，可能会违反不能连续两个红结点的规则，所以将x指向pp，进入下一轮循环继续；
2. 若pb为黑色，只能右旋pp（还记得我们上一篇文章中旋转的作用吗？）。但要想pp能够成功右旋，x、p、pp必须在一条直线上，否则x将作为pp新的左孩子从而造成连续两个红色。

    private void insertFixup(Node x) {
        while (x.parent != nil && x.parent.color == RED) {
            Node p = x.parent;
            // 因为父节点为红色，而根节点为黑色，所以父节点肯定不为根，故祖父节点存在，所以这里不需要判断为nil。
            Node pp = p.parent;
            pp.color = RED;
            if (pp.left == p) {
                Node pb = pp.right;
                if (pb.color == RED) {
                    insertFixUpStats[0]++;
                    p.color = BLACK;
                    pb.color = BLACK;
                    x = pp;
                } else {
                    if (p.left != x) {
                        insertFixUpStats[1]++;
                        rotateLeft(p);
                        x = p;
                        p = x.parent;
                    }
                    insertFixUpStats[2]++;
                    p.color = BLACK;
                    rotateRight(pp);
                }
            } else {
                Node pb = pp.left;
                if (pb.color == RED) {
                    insertFixUpStats[0]++;
                    p.color = BLACK;
                    pb.color = BLACK;
                    x = pp;
                } else {
                    if (p.right != x) {
                        insertFixUpStats[1]++;
                        rotateRight(p);
                        x = p;
                        p = x.parent;
                    }
                    insertFixUpStats[2]++;
                    p.color = BLACK;
                    rotateLeft(pp);
                }
            }
        }
        root.color = BLACK;
    }

2. 删除

当黑色结点被替代者替换时，会导致黑色结点的缺失而违反性质4，我们需要对替代者做一些处理，使树恢复平衡。设被删除的结点为x，x的左孩子为xl(left)，右孩子为xr(right)，x的后继为s(successor)，后继的右孩子为sr，替代者为r(replacement)，被替代的颜色为rc(replacedColor)，x的父结点为p，x的兄弟节点为b，b的左右孩子分别为bl, br。

因为删除调整也是对称的，下面我们只讨论x == p.left的情况。

2.1 确定替代者与被替代的颜色

1. 如果xl或xr不存在时，直接把xr或xl替换x即可，故r为xr或xl，rc为x.color；否则转2。
2. 如果xr == s，则只发生一次替换：s -> x，故r为s，rc为x.color。
3. 如果xr != s，则发生两次替换：sr -> s, s -> x。我们保留x位置的颜色不变，将x的颜色赋值给s，则在颜色上的替换只有一次：sr -> s，我们只需要调整一个结点的黑色结点问题，此时r为s.right，rc为s.color。

2.2 调整替代者

因为少了一个黑色的结点，所以，以根到x.parent整条路径上的任意结点为根的子树，其左子树都会少一个黑色结点。前人发明了一招来治标：假设r指针附带了一层额外的黑色（这个黑色是跟着r指针走的，与结点本身无关，当r向上移动的时候，这层黑色也会跟着指针r走），这样少的那个黑色又加回来了。如果r节点为红色，那将r置黑（即将虚拟的黑色实体化），即解决问题；否则，需要更多的调整。

先确定总的原则：1. x不能再变化，因为x的变化会导致左边黑色进一步减少，无利于解决问题；2. 总需要做出点变化，不然静止不动，肯定无法解决问题。

首先区分出4种情况：按b的颜色可分为两种情况，而b为黑时，又根据bl, br的颜色，可分为全黑、左红、右红3种情况（为什么不考虑全红：因为单独考虑左红、右红已经包含全红了。另外，右红经过左旋可转化为左红，是的，跟上面插入时一样，如果不在一条直线上则旋转到一条直线上）。然后再逐个攻破：

• 情况1：如果b为红色，则p、bl和br都为黑色。因不能连续两红，故p、bl、br都不能变色，唯一能做的只能是b，故将其置为黑色，这样右边又多了一个黑色，现在多了2个黑色，如果现在左旋最多只能减少一个，那就先把p置红（这里为什么敢置红呢？先试试嘛，万一不行不变就是了，恰好接下来的左旋操作，使得p的父亲变成黑色的b，所以不会出现两个红色），右边黑色数目恢复，但左边又少了一个黑色。那就p左旋（旋转就是用来将一边的颜色分享给另一边而原来那一边颜色不减少），这时b的黑色作用到两边使左右两边的黑色数目都恢复。另外p左旋导致原来的bl成了p.right，成为x的新兄弟，且bl是黑色的，故转换为情况2/3/4的一种。
• 情况2：b, bl, br都为黑色，唯一可能的变化是右边的某个结点由黑转红，如果该结点是bl或br的话，那会造成b子树的不平衡，不但没解决问题反而引入了新的问题，肯定不行，所以只能是b由黑转红。这时右边就少了一个黑色。将r上移指向p，相当于将r的虚拟黑色分享给右边，增加了一个黑色。但此时只解决了原r子树的黑色不平衡问题，新的r及更上层的不平衡问题还未解决，故进入下一轮循环继续。
• 情况3：b为黑色，bl为红色，因p, b, bl不在一条直线上，参考插入过程，我们需要将p, b, bl调整到一条直线上来以便进行旋转操作。故b置红，bl置黑，右旋b，再重置b，转为情况4。
• 情况4：b为黑色，br为红色，则p, b, br在一条直线上，这个时候怎么搞事情呢？因为br是红色，所以b不能再置红，而bl和p颜色不确定，所以也不能直接修改颜色。故可能的变化只能是br置黑，则右边多了一个黑色。因为不能将p置红来减少右边的黑色，唯一能做的就是想办法把b的黑色弄到左边去。首先想到的就是左旋p，但如果p是黑色的，左旋p会导致右边黑色减1左边加1，最终左边黑色数目比右边多2（算上那个虚拟黑色），所以不能直接左旋p。我们试着交换p和b的颜色，再左旋p，则p原来的颜色还在原来的位置，b的黑色成功置换到了左边。但现在左边又多了一个黑色，我们把r移走，指向root，则总体平衡了（右边黑色一加一减不变，左边增加了一个），结束处理。

所以将来大家记不住4种情况分别是什么时，不妨自己在纸上画画，强迫自己搞点事情出来，再逐步恢复之前的局势，想必能帮助你想起来。

    private void deleteFixUp(Node r) {
        while (r.color == BLACK && r != root) {
            Node p = r.parent;
            if (r == p.left) {
                Node b = p.right;
                // 情况1，处理之后转化为情况2/3/4的一种。
                if (b.color == RED) {
                    deleteFixUpStats[0]++;
                    b.color = BLACK;
                    p.color = RED;
                    rotateLeft(p);
                    b = p.right;
                }

                // 因为有哨兵nil，所以这里不需要判断brother.left是否存在。
                if (b.left.color == BLACK && b.right.color == BLACK) {
                    deleteFixUpStats[1]++;
                    b.color = RED;
                    r = p;
                } else {
                    // 情况3转化为情况4
                    if (b.left.color == RED) {
                        deleteFixUpStats[2]++;
                        b.left.color = BLACK;
                        b.color = RED;
                        rotateRight(b);
                        b = p.right;
                    }
                    deleteFixUpStats[3]++;
                    b.right.color = BLACK;
                    b.color = p.color;
                    p.color = BLACK;
                    rotateLeft(p);
                    r = root;
                }
            } else {
                Node b = p.left;
                if (b.color == RED) {
                    deleteFixUpStats[0]++;
                    b.color = BLACK;
                    p.color = RED;
                    rotateRight(p);
                    b = p.left;
                }

                if (b.left.color == BLACK && b.right.color == BLACK) {
                    deleteFixUpStats[1]++;
                    b.color = RED;
                    r = p;
                } else {
                    if (b.right.color == RED) {
                        deleteFixUpStats[2]++;
                        b.right.color = BLACK;
                        b.color = RED;
                        rotateLeft(b);
                        b = p.left;
                    }
                    deleteFixUpStats[3]++;
                    b.left.color = BLACK;
                    b.color = p.color;
                    p.color = BLACK;
                    rotateRight(p);
                    r = root;
                }
            }
        }
        r.color = BLACK;
    }

3. 示例

下面我将演示按{6, 3, 5, 4, 2, 1, 0}的顺序逐个插入，再按{6, 4, 5, 0, 1, 3, 2}的顺序逐个删除结点，演示插入的3种情况和删除的4种情况。话说你这两串数字怎么得来了，你怎么能知道能出现所有的情况？嘿嘿，多运行几次代码，你就能挑到一个满足条件的。

开始插入5

前面两个结点太简单，就不演示了。我们从插入5开始，现在3和5连续两个红结点，且6、3、5不在一条直接线，为插入情况2，我们左旋3，转化为情况3；然后5置黑，6置红，右旋6.

完成插入5

接下来插入4之后，3和6都为红，为情况1，所以将3和6置黑，5置红。然后继续判断的时候，x已经指向根，所以将根置黑即结束。

插入4

接下来插入2，不需要调整，所以不演示了，继续插入1.此时2和4均为红，为情况1，将2和4置黑，3置红，因为3的父结点5不再是红色，所以处理结束。

插入2和1

插入0，0、1、2在一条直线上，为情况3，所以1置黑，2置红，右旋2.

插入0

现在插入完毕，哈哈，看起来左边高很多，但也只是2倍啦，还是一棵合法的红黑树。接下来我们开始删除操作{6, 4, 5, 0, 1, 3, 2}。继续使用上文中的符号来表示。

删除6。因6的左孩子为nil，所以r为其右孩子（也是nil，但没关系，我们把nil当成普通结点看待），rc为6的颜色黑色，所以需要做调整。b为3，颜色为红，符合情况1。所以将3置黑色，5置红色，右旋5，再重置b。

此时b(4)为黑色，左右孩子均为nil，也为黑色，符合情况2，故4置红，r指向5。

此时r本身为红色了，所以结束循环，将其置黑，结束处理。总结一下，删除结点6，我们共进行了2次调整，分别为情况1和情况2。

删除6

继续删除结点4。因为4左孩子不存在，所以r为其右孩子，rc为4的颜色红色，故不需要调整，这里不再单独作图。

再删除5。因5的左孩子不存在，故r为其右孩子nil，rc为5的颜色黑色，所以需要调整。因为b(1)为黑色，且其右孩子为红色，符合情况3，故1置红，2置黑，b左旋，2成为新的b，转情况4；情况4中，将bl(1)置黑，p(3)颜色给b，p置黑，右旋3，r指向root。

总结一下，删除结点5，我们共进行了2次调整，情况3和情况4.

删除5

接下来删除0，因它没有左右结点，且颜色为红色，不需要调整，直接删除即可，不再画图。接下来删除1。1没有左结点，故r为1，rc为1的颜色黑色，b为3，颜色为黑色，且3的左右孩子均为黑色（nil的颜色），符合情况2，故将b置红，r指向p。因为此时p已经是根了，将其置黑结束处理。

删除1

接下来删除3，3为红色，不需要调整，删除2树为空，也不需要调整，不再画图。

5. 结语

通过本文的练习，如果能正确得到结果，证明你已经基本掌握了红黑树的插入与删除操作。记得，插入调整的3种情况和删除调整的4种情况，都可以通过自己演练出来，记不住了，就在纸上画画，试着随便去做一些调整（如果调整造成了其他的冲突，则想办法往回调整），最终会得到正确的解决办法。

源码

https://github.com/readyou/algorithm-introduction-code/blob/master/src/main/java/me/wxl/demo/data/struct/RedBlackTree.java

转载声明

如果您需要转载，请注明转载来源。