按：这是重新开始写作自己感兴趣却不见得大家都了解的小知识系列，不定期更新。以后的标题统一为“Caesar的小为什么”好了。之所以要叫“为什么”，是因为了解小知识总是以一个自己的小疑问为起点的。Caesar无论到哪里都是社交圈里数一数二的好奇宝宝，实际上还是很为此自豪的。
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钢琴这个乐器，大家都很熟悉，不见得都弹过，但大概都见过。而且对于Caesar的同龄人而言，虽然不是每个人都被钢琴毁过童年，但是可能有相当一部分在中学时期曾经被它的简化量产改（shan）造（zhai）型——口风琴——折磨过。所以说，很可能在座的大部分朋友看都不用看，只凭回忆就能回忆起钢琴的键盘长什么样子。
不过为了防止跑来读这篇文章的小同学里有记忆力只有五秒的宝宝，Caesar还是给大家简单总结一下好了：钢琴的键盘分为若干组琴键，每组十二个，七个白键，五个黑键，按照白夹黑的原则排列，这样每组里面又有两个分组，第一组五个键白-黑-白-黑-白，第二组七个键白-黑-白-黑-白-黑-白。
所以钢琴为什么要这样排列琴键？
相信看到这里，围观的无数资深三好学生早就在心里嫌弃了：Caesar你是把我们当白痴是怎么的？我们横竖也是受过九年义务教育的人，都知道七个白键对应哆来咪发唆拉西，你问这问题是在唬我们？讲清楚！
是的，我想说大家的感觉是部分正确的！——不是感觉我看不起大家的那一部分（Caesar才疏学浅，哪里有胆，每天只求大佬们不要看不起我），而是这个问题是唬大家的那一部分。我今天想给大家探讨并不是黑白键这个层面的问题，而是有关于让黑白键这么排布的Do Re Mi Fa Sol La Si的。（小知识点：西用字母来写最标准的写法是Ti而不是Si更不是Xi，Si在最标准的记法里实际上对应升Sol，而英语中是没有汉语拼音的x音的。这一篇文章为方便大家阅读写作Si）之所以用黑白键来填标题，是因为Caesar觉得哆来咪发唆拉西这七个字写进标题很难看……
于是Caesar要抛出今天真正的灵魂拷问了。我相信，各位曾经在小学的音乐课上，跟着老师咿咿呀呀唱过Do Re Mi Fa Sol La Si的小天使们，在那天真烂漫的若干个四十分钟里一定也问过自己这个问题：
为什么Mi和Fa中间，Si和Do中间的音要小一些呢？
如果Caesar没有记错的话，音乐老师们在给小天使们教唱音阶的时候，就已经以一种“管你们听不听得懂”的气魄给我们传授了“半音”和“全音”的概念。他们会用亲切的眼神注视着我们，并用讲天书一般的语调对我们说：
Mi和Fa中间，Si和Do中间隔的是半音；其他几个音中间隔的都是全音。
全音呢，就是两个半音。
在那之后不久，他们还会告诉我们夹在全音中间的半音的名字，比如Fa和Sol之间的叫升Fa，Sol和La之间的叫升Sol，不过La和Si之间的也可以叫降Si。让人欣慰的是，这些名字有两个音节的怪物在那节课之后就几乎从音乐课课堂里销声匿迹了，一直到高考之前也就极其偶尔地冒几次头。这可以说是九年义务教育的课纲当中，为数不多的能为我们保留几分难能可贵的童趣与纯真的部分。
所以Caesar总是在猜想，当年肯定不止自己有过这个疑问：
为什么音阶七个音的间隔要弄成五个全音和两个半音呐？直接弄六个音相距六个全音，不是简洁多了吗？
当年的Caesar作为一名音乐课都没听懂过几节的模范小学生，在产生这个疑惑的时候就已经很明确地意识到，凭自己的力量，恐怕是搞不明白这个玄妙的问题的。因此，这个问题就被童年Caesar封存在了心底，慢慢地就淡忘了，直到前些日子一次偶然的好奇，才浮现出来。于是，经过一点点调查研究，Caesar大概搞明白了Do Re Mi Fa Sol La Si这个音阶（即所谓七声音阶）的不规律分布背后的原因，今天就写出来和各位分享一下。
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谈这个问题，Caesar想从一个叫三全音的东西谈起。
三全音，顾名思义，就是三个全音。音乐理论当中，两个音的音高的差别有一个专门的称呼，叫做音程，因此三全音指的就是两个音之间差三个全音或者说六个半音的音程。如果从七声音阶的Do开始找，数六个半音之后，是落在Fa和Sol中间的升Fa的位置。
由于一个低音的音符到高音的同名音符——也可以叫一个八度，比如Do到高音Do（也就是Si音上面的更高的一个Do音，后面说“高音”的意义相同）——之间是12个半音，三全音是6个半音，正好在一半的位置，看起来非常和谐，所以没有太深入研究过音乐的小伙伴们的第一印象可能是：这应该是个很好听的音。然而事实却恰恰相反，三全音通常被作曲家视为一个八度内存在的13种音程（即两个音之间相隔0到12个半音的13种情况）当中最不和谐的一种，音效极差。如果我们把三全音写进乐曲的主旋律，瞬间就可以使得曲调的和谐感荡然无存。因为这种奇怪的特性，三全音的音程在中世纪的欧洲一度有“魔鬼之音”的称号，甚至曾在教会乐曲中被禁止使用，也被大部分古典音乐作曲家规避；而在近代的乐曲谱曲当中，则经常充当制造紧张、不安、诡异气氛的角色。
如果我们了解了三全音再去想一下七声音阶不规则的音差分布（五个全音和两个半音），就可以发现Mi和Fa之间、Si和Do之间的两个半音音差的加入，近乎在最大的程度上避免了音阶的七个音符出现相距6个半音的状况：Do Re Mi Fa Sol La Si这一组音符，两两比较下来，只有Fa和Si之间的相隔是6个半音。手边有乐器的看官可以现在就拿过来连续弹/吹/拉一下Fa 和Si两个音符，应该可以立刻感受到这个音程的不和谐。
然而，虽然6个半音的对应的三全音音程如此不和谐，对应12个半音的纯八度（也就是Do和高音Do、Re和高音Re这种音高的差别）却被认为是最和谐的音程之一。同样被认为是最和谐之一的，还有相隔0个半音的音程，也就是两个相同的音（Do和Do、Re和Re这一类），学名叫做纯一度。于是我们就发现了一个奇景：0个半音和12个半音的音程都非常和谐，两者取一下平均数，得到6个半音，对应的音程反而变成极度不和谐的了。看起来确实颇为奇怪。
然而更加让人疑惑的事还在后面呢：如果我们专门查找一下音程和谐度的资料，就会发现排在纯一度和纯八度之后的两个最和谐的音程，分别是7个半音的“纯五度”和5个半音的“纯四度”！这下子就真的有点让人摸不着头脑了：0个和12个半音对应最和谐的音程，中间的6个半音对应最不和谐的，但是从6个半音往两边各加减一个半音，反而又变得非常和谐了？这究竟是唱的哪一出？
Caesar初看到这些内容也觉得一头雾水，为什么会出现这种奇怪的现象？研究了一下后才发现，这涉及到大量的物理学以及生物学（人类听力）方面的科学研究结论，其核心则是一套精密的有关“半音”的数学原理。虽然Caesar不是这几个领域内的专家，但是之前的研究成果已经相当丰富可靠，而且的确颇为有趣，因此Caesar决定今天就当一次二道贩子，为大家剖析一下这种怪象背后的原理。
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首先我们从一条物理学的研究结论开始：
音调的实质是声波的频率，而两个音听起来的“距离”，实质上和两个声音对应的声波频率的比例。
声波的概念大家都熟悉，频率的概念大家应该也都能理解（可以简单地理解为声波多久振一次），那么Caesar接下来要给大家的第一个重要的科研结论应该也就好理解了：
半音从表面上看（听），是将一个纯八度的音差等分成了12份，任意两个相邻的音之间的“距离听起来相等”。但是转化到实质层面，则是任意两个相邻的音对应的声波频率的数学比值都相同。
因此，如果我们把纯八度的低音（我们接下来也会称它为主音，作为纯八度内的参照原点）的频率设为f0，高音的频率设为f12，再将其中等分的11个半音的频率分别设为f1到f11，那么就有f1/f0=f2/f1=f3/f2=…=f12/f11。也就是说，这13个频率构成的将是一个等比数列。
科学研究同时证明：
构成纯八度的两个音，高音的频率是低音的2倍。
这就像小学数学应用题一样，给出了一个重要的已知条件。所以如果我们设f0=1，f12=2，我们就可以进一步用等比数列的性质，很方便地算出来f1到f11的每一项都是多少：
设 f1/f0=f2/f1=f3/f2=…=f12/f11=q，
有 fn = fn/f[n-1] ·f[n-1]/f[n-2] ·…·f1/f0 = q^n (n∈[1,12]且n∈N)
根据 f12=q^12=2，
可解得 q=2^(1/12)，
因此 fn= [2^(1/12)]^n = 2^(n/12) (n∈[1,12]且n∈N)
所以，每隔一个半音的音符对应的声音频率分别是主音频率的【2的12分之1次方】的0到12次方倍（0次方就等于1，12次方等于2）。或者再换句话来说，将2开12次方根号得到一个数，然后计算这个数的0到12次方数，就是将纯八度的低音的频率作为1倍（因为实际上的主音频率肯定不是1；我们常唱的Do Re Mi Fa Sol La Si中的Do，频率大概是261.6赫兹。前面设为1是为了大家理解方便），高音的频率作为2倍的时候，每个音符对应的声波频率的倍数。学过高中数学的朋友们都能看出，这个数列的本质是一个指数函数。
而科学研究给我们的第三个重要结论则是：
构成一个音程的两个音的波长的比例用整数比例写出来越简单，这个音程听起来就越和谐。
这句话该如何理解？一个音程，我们把高低两个音符的声波频率写成比例，然后把比值写成一个分子和分母都是整数的分数，写出来的分子分母越简单，我们听这个音程就越好听。
“好听”这个感性的概念的背后还有数学原理！听上去似乎很神奇，文科生Caesar也不太明白个中就里。不过好在Caesar是一个喜欢（不是擅长）数学的文科生，觉得它是个可以创造奇迹的学科，因此听到这种神奇的效果也就相信了。
按照上述理论，分子分母都要是整数，因此写出来最简单的频率比值自然就是1/1。相同的频率，意味着两个相同的音，对应的是我们上面提到的纯一度，两个音之间的间隔是0个半音。
接下来轮到的是1/2和2/1。容易理解，这样互为倒数的比值实际上代表着相同的比例，只是在比较时将高音和低音的位置互换而得到不同的比值。因此我们接下来不妨以低音的频率为作分母，高音的频率作为分子。因为高音的频率比较大，这时候分子要比分母大，因此在1/2和2/1当中，我们取2/1。2/1就是2倍的频率关系，正如我们前面已经谈到的，这个高低音频率比例对应的正是12个半音的纯八度。
至此，前面提到的两个最和谐音程，在这种理论推演当中就得到了证明。
但是寻找接下来的和谐音程似乎就比较麻烦了，因为我们的选择范围，是纯八度内13个“等距”（相隔半音）的音符两两配对构成的音差。前面已经总结到，和“和谐”有关的是频率比值，写出来是个分数，是个有理数；而和13个由半音间隔确定的音符的频率有关的一组数是2^(n/12)，除去n等于0和12的情况，剩下的11个数都是无理数。一个是有理数，一个是无理数，这两组数表面上看天差地别。
万幸的是，实际状况并没有这么复杂。因为我们已经将纯八度的主音设为2^(0/12)也就是1了，所以只要找到最接近接下来我们找出的比例值的一个2^(n/12)，就可以把它改写成[2^(n/12)/ 2^(0/12)]的比例形式（分母是1，所以数值没有变）；而这个过程，反过来自然也是可以的。根据这个思路，我们的任务就简化成了找最接近写出的比例值的2^(n/12)。
根据这个思路，继2/1之后，位于1和2之间的下一个最简单的比例应该就是3/2，也就是1.5倍的频率关系了，我们要找的就是最接近它的2^(n/12)。有没有哪个2^(n/12)和它比较接近呢？
1.5和2^(n/12)这两个数看起来风马牛不相及，然而实际上在n取1到11之间的11个整数之一的时候，实际数值相当接近，甚至可以说近得有点可怕：
3/2的小数形式是1.5，而2的12分之7次方约等于1.498，相差不到千分之二！这就意味着如果两个不同的音符的频率分别是Do的1.5倍和2^(7/12)倍，我们将近乎听不出差别。根据我们前面的定义，当高音的频率比上低音的频率是2^(7/12)倍时，对应的正是7个半音的音程，也就是我们之前提到的第二和谐的“纯五度”，相当于七声音阶Do到Sol的音程。
我们可以看到，数学的精密计算在此刻向我们呈现出一个无懈可击的结论：继相距0个和12个半音的音程之后最为和谐的音程，不是6个半音的音程，甚至也不是4个或者8个半音的音程，而正是7个半音音程的纯五度。
而跟在纯五度之后最和谐的音程又是哪一个呢？接续3/2又位在1与2之间的最简单比例，就应该要数4/3了。而如果我们可以注意到4/3×3/2=2，就能很容易地发现最接近4/3的2^(n/12)：
保留三位小数的话，4/3约等于1.333。因此2的12分之5次方和4/3之间的相差，也不到千分之二。这就说明，5个半音的音程的和谐程度，将紧接在7个半音的纯五度音程之后。而这个相距5个半音的音程，对应的正是前面曾经和纯五度并列提到的纯四度。
理解了纯五度和纯四度和谐的原因之后，三全音不和谐的原因也就很浅显了：6个半音的音程对应的频率比是2的12分之6次方，也就是根号2【2的平方根。简书不支持数学表达式，希望大家谅解】，恰好是一个无理数，因此很难转化成非常简洁的整数比例形式的近似值。（有些同学可能知道，古希腊的数学家毕达哥拉斯有个学生西帕索斯，就是因为证明了根号2没法写成两个整数的比值，而被自己的老师丢进海里喂鱼的）这就注定了无论如何取近似值，对应根号2倍频率的6个半音音程都好听不起来。
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到此我们就算解释完了这个“2的12分之n次方”的原理。但是这个原理要如何回答我们标题里提到的问题呢？——“为什么Do Re Mi Fa Sol La Si的七声音阶，要按照全-全-半-全-全-全-半的方式去分配音符和音符之间的音差？”
Caesar认为，这种分配方式和纯五度、纯四度的和谐性密不可分。我们的先人在发明音乐时，尚不懂得无理数和指数函数，是万不可能以均分12个半音的方式来确定每个音符的音高的。对于音律尚一无所知的他们，恐怕只能对于“和谐”和“悦耳”的理解与感受去寻找每个音符。因此，在他们确定一个音当作基准——可以理解为当作Do——之后，接下来确定的必然是最和谐的高音或者低音Do，从而有了等同于我们今天说的八度的概念。而在相邻的两个Do之间，他们接下来确定的，就必然是Sol这个和Do成纯五度音程的音符，因为它是相邻的两个Do之间最为和谐的音。
这种推算并非是Caesar的信口开河。至今音乐当中还有“五度圈”的概念，在调式的变化上扮演着非常重要的作用。由于变调（转调）的乐理太过复杂，而且Caesar自己到现在也拎不清楚，所以这里不展开讲了，大家可以看下面两幅图感受一下。Caesar借此想要为大家说明的仅仅是，纯五度的音程在音乐当中有着相当重要的地位。
因此Caesar的观点是，我们有足够的证据去推论，12个半音被确定下来，最初乃是因为我们的先人利用纯八度和纯五度的音程去寻找更多的音符，最终发现的一种循环规律：纯五度的1.5倍声波频率比极其接近2的12分之7次方，因此如果我们的先人从基准音（例如Do）找高一个纯五度的音符，再从那个音符再找高一个纯五度的音符，或者以相同的方式向低音的方向找，那么当两侧推演大约12个纯五度之后，我们的先人就可以发现一个近似7个纯八度的循环。而我们的先人如果有心（几千年的时间，恐怕总缺不了那么几个瞎操心的人吧），再从推演中得到的这些音符降若干个纯八度比较，就能近似得到一个纯八度内所有的12个音符。12个半音很可能就是这样被确定下来的。
有鉴于此，Caesar认为，半音的数目是12，很可能是一种果，而不是因，真正的原因是1.5和2的7/12次幂这两个数惊人得如同巧合一般的近似。很有可能（Caesar并没有算过，但是认为这一定是事实）的情况就是，在所有2的p/q次幂（p、q都是整数）当中，当q小于12的时候，2^(p/q)对应的数值都没能像2^(7/12)那样如此接近1.5。如果有q小于12的情况2^(p/q)极其接近1.5的话，我们今天所听到的音乐，与一个八度相等的音程内部，很可能就不是12个半音，而可能是10个半音、9个半音或者6个半音了。这样想下来，也是挺神奇的。
就说到这里吧。最后，Caesar来给大家整理一下这篇文章所表达的清奇的脑回路：
问：为什么钢琴上的白键和黑键的数量不一样多？
答：因为12个半音的音阶被挑出了7个音作为主音，而不是被分割成了六个全音。
问：那么为什么不分割成六个全音呢？
答：因为相距三个全音的两个音符听上去很不和谐，所以如果间距都是全音，创作出的音乐反而就不好听了。
与此同时，相距五个半音和七个半音的两个音符听上去反而非常悦耳，所以Fa和Sol进入到音阶当中近乎是必然的。
问：那么为什么五个半音和七个半音都这么好听，中间的六个半音（三个全音）就非常难听呢？
答：因为“好听”本质上和两个音符的声波频率的数学比例有关，是非常简单的有理数运算，“半音”对应的声波频率却是由一个无理数作为底数的指数函数确定的。
七个半音和五个半音之所以非常和谐，是因为2^(7/12)和2^(5/12)两个数非常接近3/2和4/3这两个非常简洁的比例。
六个半音之所以非常不和谐，则是因为2^(6/12)对应无理数根号2，近乎无法转化成简洁的整数比。
所以如果扣回本篇文章的标题里，那个作为思考起点的问题，Caesar要给大家的回答是：6个半音的音程极其难听，所以钢琴上是绝对不允许一个黑键一个白键的交叉分布的，那样几乎整个键盘上都将是难听的三全音。
这就是今天份的Caesar冷门知识，比较长也有点复杂，但还是希望慢慢看到这里的各位观众喜欢。我们有缘的话，下篇文章再见。
后记：
最初动笔的时候，Caesar确实没想到这一篇会写这么长（六千多字）。可能是因为知识的原理虽然简单，但涉及的大量基本概念都不好用文字来解释，比如说音乐的音符和数学的数字。所以Caesar写作的时候总是觉得“是不是要再解释清楚一点才行？”无形中也增加了很多压力。这一次也是相隔许久之后第一次动笔写东西，肯定有不足之处，希望大家见谅，Caesar以后也会多加改进，下次再写作知识介绍类的文章时，希望尽可能简洁而明快地把内容呈现给大家啦。
非常感谢每一位阅读的朋友，Caesar会继续努力！
