刚体运动学（5）：欧拉刚性运动定理

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 本征值问题和久期方程

$\bullet$ 在任意时刻，刚体的方向可由正交变换来表示。时间的演进会导致刚体方向的变化，所以它的变换矩阵该是一个随时间变化的函数 $\rm{R}(t)$ ，由于刚体的实际转动是连续的，所以 $\rm{R}(t)$ 也必须是一个连续的函数。在初始时刻 $t = 0$ ，可将刚体局部参考系原点选择与全局参考系原点重合，则有 $\rm{R}(0) = \rm{I}$ 。

$\bullet$ 欧拉刚体运动定理（Euler’s theorem on the motion of a rigid body）描述了刚体运动的重要特征，它指出，

对于基点固定的刚体（不考虑平动），它的一般运动都可以分解为绕某个转轴的转动。

由于转轴不会因为刚体转动而发生改变，任何矢量在沿转轴方向的分量在转动前后都将保持不变。因此，如果能证明存在某矢量 $\mathbf{G}$ ，它沿转轴的分量在变换前后两个参考系内均不变，即

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \mathbf{G}\\$

而

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \lambda\mathbf{G}\\$

于是，

$\lambda = +1\\$

欧拉定理的等价阐述：

对于一个基点固定的刚体，用来表示其实际运动的实正交矩阵必须至少含有一个等于 $+1$ 的本征值

因此，需要首先解决本征值问题，本征方程可以写为

$\begin{align*} \mathbf{G}\rm{R} &= \lambda\rm{I}\mathbf{G}\\(\rm{R} - \lambda \rm{I})\mathbf{G} &= \mathbf{0}\end{align*}\\$

或者写成展开式

$\begin{bmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0 \end{pmatrix}\\$

$\begin{align*}(a_{11} - \lambda ) x + a_{12}y + a_{13}z = 0\\a_{21}x + (a_{22} - \lambda)y + a_{23}z = 0\\a_{31}x + a_{32}y + (a_{33} - \lambda)z = 0\end{align*}\\$

满足本征方程的本征空间也是矩阵 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的零空间。若存在解，根据维度定理，零空间非空，那么矩阵 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的秩必定小于维度数，即列空间必定呈线性依赖，所以行列式

$|\rm{R} - \lambda \rm{I}| = \mathbf{0}\\$

$\begin{vmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\$

被称为矩阵的特征方程（characteristic equation）或久期方程（secular equation）。

如同上述的久期方程通常有 $3$ 个根，即三个本征值，对应 $3$ 个本征矢量。

所以欧拉定理要求，正交矩阵久期方程的解必须含有根 $\lambda = +1$ 。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 记号

$\bullet$ 将矢量的三个分量 $x,y,z$ 记为 $x_1,x_2,x_3$

$\bullet$ 对于本征矢，将分量记为 $x_{ik}$ ，指标 $i$ 表示特定方向的分量， $k$ 表示与之唯一对应的本征值

使用上述记号，本征方程可被写成

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \lambda_{k}x_{ik}\\$

（注意：等式右侧不触发求和约定，出现加和的地方已用加和符号表示）

或者

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \sum_j x_{ij}\delta_{jk} \lambda_k \\$

用矩阵表示

$\rm{R}\mathrm{G} = \mathrm{G} \boldsymbol{\lambda}\\$

$\implies \boldsymbol{\lambda} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\$

其中 $\boldsymbol{\lambda}$ 是一个对角方阵， $\rm{G}$ 是一个方阵，方阵中的每一列都是一个本征矢，变换矩阵 $\rm{R}$ 的对角化矩阵 $\boldsymbol{\lambda}$ 中每一个对角矩阵元则是相应的本征值。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I}.}$ 欧拉定理证明

已知关系式

$(\rm{R} - \rm{I})\rm{R}^{t} = \rm{I} - \rm{R}^{t}\\$

对等式两边求行列式

$|\rm{R} - \rm{I}| \cdot |\rm{R}^t| = |\rm{I} - \rm{R}^t| \\$

因为转动矩阵 $\rm{R}$ 属于常规变换

$|\rm{R}^t| = |\rm{R}| = 1\\$

所以

$|\rm{R} - \rm{I}| = |\rm{I} - \rm{R}|\\$

令 $\rm{A} = \rm{R} - \rm{I}$ ，上述关系表明，矩阵 $\rm{A}$ 的行列式与其负矩阵的行列式相等，即

$|\rm{A}| = |-\rm{A}|\\$

如果矩阵 $\rm{A}$ 是一个 $n \times n$ 方阵，根据行列式特性

$|\rm{A}| = (-1)^n|\rm{A}|\\$

$\bullet$ 对于任何奇数维度，如 $n = 3$

$|\rm{A}| = -|\rm{A}|\\$ $\implies |\rm{A}| = |\rm{R} - \rm{I}| = 0\\$

所以三维空间的转动矩阵 $\rm{R}$ 必然至少有一个本征值是等于 $+1$ 的

$\bullet$ 对于任何偶数维度，如 $n = 2$

$|\rm{A}| = (-1)^2|\rm{A}| = |\rm{A}|\\$

将无法得到 $\lambda = +1$ 的结论，故欧拉定理失效。

所以，二维平面内不存在欧拉定理。因为当坐标系转动时，任何位于平面内的矢量均会发生改变，唯有沿转轴的矢量不发生改变，但此时它与平面垂直，并不在平面内。

$\mathrm{\mathbf{V\!I.}}$ 本征值的特点

对于转动矩阵 $\rm{R}$

$\begin{align*}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\\rm{G}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\ \end{align*} \\$

对等式两边求行列式

$|\rm{G}|\cdot |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \cdot |\rm{G}|\\$

$\implies |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \\$

可见，其行列式不会因为相似变换（similarity transformation）而改变。

于是，

$|\rm{R}^{\prime}| = |\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}| = |\boldsymbol{\lambda}| = \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = |\rm{R}|\\$

根据欧拉定理，已知其中一个本征值必须为 $+1$ 。

令 $\lambda_3 = +1$ ，则有

$|\rm{R}| = \lambda_1\lambda_2 = +1\\$

剩余两个本征值的乘积等于一

$\bullet$ 因为 $\rm{R}$ 是个实矩阵，久期方程的任何复数根都将以成对的方式出现。所以，如果 $\lambda$ 是满足久期方程的一个根，它的复共轭 $\lambda^{\ast}$ 也将同样满足方程。

$\bullet$ 如果本征值 $\lambda_i$ 是一个复数，那么其对应的本征矢量同样将是一个复矢量。

复矢量的长度可以记为

$\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}^{\ast} = \mathbf{r}^t\mathbf{r^{\ast}}\\$

我们知道，一个矢量的长度在正交变换下是一个不变量

$\begin{align*}(\mathbf{r}^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^t\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^{-1}\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^{t}\mathbf{r}^{\ast}\end{align*}\\$

此时，若 $\mathbf{r}$ 是一个属于转动矩阵 $\rm{R}$ 的复本征值 $\lambda$ 的本征矢，则有

$\rm{R}\mathbf{r} = \lambda\mathbf{r}\\$

于是

$\begin{align*} (\mathbf{r} ^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \lambda\lambda^{\ast} \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\end{align*} \\$

$\implies \lambda\lambda^{\ast} = 1\\$

可见，转动矩阵 $\rm{R}$ 的所有本征值均具有单位长度。

由此，可以得出矩阵 $\rm{R}$ 本征值的所有可能的分布情况：

（1）所有本征值均为实数 $+1$ ，于是 $\rm{R}^{\prime} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G} =\boldsymbol{\lambda} = \rm{I} = \rm{R}(0)$ ，刚体将保持零时刻的方向，最平凡的情况。

（2）一个本征值为实数 $+1$ ，另外两个均为实数 $-1$ 。该情况对应的转动变换是两个坐标的反演，最后一个坐标则保持不变。它是刚体关于保持不变的那条坐标轴的 $\pi$ 弧度转动。

（3）一个本征值为实数 $+1$ ，另外两个为一组共轭复数，具有形式： $e^{i\Phi}$ ， $e^{-i\Phi}$ 。

所以，欧拉定理的更完整陈述为：

任何常规非平凡实正交矩阵有且仅有一个等于 $+1$ 的本征值。

$\rm{\mathbf{V.}}$ 转角的计算

$\bullet$ 刚体转轴的方向余弦可通过将 $\lambda = +1$ 代入本征方程然后求本征矢得到。

$\bullet$ 使用相似变换，可以寻找到一组新的正交基，使得刚体的转轴与 $z$ -轴重合，这样一来，得到的转动矩阵

$\rm{R}^ {\prime} = \begin{bmatrix}\cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

它的迹（Trace）

$\rm{Tr}(R^{\prime}) = 1 + 2\cos\Phi\\$

由于转动矩阵的迹在相似变化下是个不变量，可以得到转动角度 $\Phi$ 与初始转动矩阵的 $\rm{R}$ 对角矩阵元的关系式

$\rm{Tr}(R) = a_{ii} = 1 + 2\cos\Phi\\$

$\implies \boxed{\Phi = \cos^{-1}\frac{a_{ii} - 1} {2}}\\$

$\bullet$ 若所有本征值 $\lambda_i$ 均为 $+1$ ， $\Phi = 0$

$\bullet$ 若 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \lambda_3 = +1$ ， $\Phi = \pi$

$\bullet$ 若 $\rm{R}$ 含有复本征值，

$\rm{Tr}(R) = \sum_i \lambda_i = 1 + e^{i\Phi} + e^{-i\Phi} = 1 + 2\cos\Phi\\$

可见，实数本征值所对应的不过是复数本征值的一种特殊情况。

$\bullet$ 使用本征值得到的角度并没有规定方向。为了避免歧义，我们习惯使用右手螺旋定则，并将逆时针角度 $\Phi$ 与变换 $\rm{R}$ 对应，将顺时针角度 $-\Phi$ 与逆变换 $\rm{R}^{-1}$ 对应。

$\rm{\mathbf{V\!I.}}$ 沙勒定理

沙勒定理是欧拉定理的推论，它指出，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。所以，刚体的运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。

沙勒其实还证明了一个更广义的版本：既非旋转又非平移的空间第一种合同变换（congruent transformation）(旋转，平移，反射等)是一个螺旋运动。通俗点来讲就是，我们总是可以选择一个局部坐标系，使得刚体沿着转轴方向平动。

最后编辑于：2020.02.23 22:04:15

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 203,098评论 5赞 476
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,213评论 2赞 380
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 149,960评论 0赞 336
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,519评论 1赞 273
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,512评论 5赞 364
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,533评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,914评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,574评论 0赞 256
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,804评论 1赞 296
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,563评论 2赞 319
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,644评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,350评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,933评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,908评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,146评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,847评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,361评论 2赞 342

刚体运动学（5）：欧拉刚性运动定理

本征值问题和久期方程

记号

欧拉定理证明

本征值的特点

转角的计算

沙勒定理

推荐阅读更多精彩内容

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 本征值问题和久期方程

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 记号

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I}.}$ 欧拉定理证明

$\mathrm{\mathbf{V\!I.}}$ 本征值的特点

$\rm{\mathbf{V.}}$ 转角的计算

$\rm{\mathbf{V\!I.}}$ 沙勒定理