一些共形场论 （conformal field theory CFT）的笔记
一些note关于CFT。从Polchinski的弦论一卷开始，就一直感觉自己没有很懂CFT, 可能那时所知太少，还没形成一个理解知识的内核。如果当时能把CFT啃下来，内化当做内核，必将受用无穷，可惜当时囫囵吞枣，也看过一些其他CFT的书，还是同样的问题，连皮毛也没有学到。几年的潜移默化还有组会的熏陶，再加上群论的内核，今年年初再看Polchinski大呼过瘾，终识弦论里面种种精妙。但是作为内核的CFT还是不能融会贯通。
Polchinski 弦论一卷里面的CFT主要还是建立在bosonic场的模型下的。所有的注意力都容易被吸引到这个特殊的模型下，而忽律了背后CFT的框架。点粒子可以看做一个0维的场论。粒子移动时，坐标位置X随时间t变化。我们也把这个过程想象成，标量场X在空间t(worldline)的涨落。这个空间t的坐标又是可以任意选择的，这就对应了一个t空间坐标变化的规范对称。量子化这个场论，要找到所有的关联函数（correlation function）<X(t1) X(t2)>。用我们更熟悉的量子力学的语言是，我们要计算<X(t1) X(t2)>这个散射振幅。Feynman告诉我们散射振幅由路径积分得到。但是还要考虑t空间坐标变化的规范对称。不同的规范对应了在t空间的不同的度规，也就是不同的长度的定义，注意这里的长度是t空间的长度。当我们选定一个长度的定义后也就是选择一个规范后，我们还要考虑(t1-t2)到底有多长，每一个可能的长度都对应了一种不同的历史，所以在最后的路径积分里，还要对所有的长度进行积分(这也是moduli space的一个例子)。把这个过程推广的弦论就是。弦论是一个一维的场论，所以除了t，弦论还有个参量s表示弦的延展。弦在空间X移动还有扭动时，我们可以想象成标量场X在二维空间(t,s)(worldsheet)的涨落。同样的这个worldsheet有一个坐标变换的规范对称性。除此之外，还有一个Weyl规范对称性，也就是我们可以任意改变在不同点的长度的定义，也就是说在任一点我们可以在度规上乘以一个倍数而不影响物理量。利用这个两个规范对称我们总可以选取一种规范，最后这个二维空间是平坦的。剩余下的规范变换就变成了共形变换。所以最后我们可以说弦论是一个2维的共形场论。
Ralph & Erik 的 “Introduction to Conformal Field Theory with applications in string theory” 这个就很配Polchiski的弦论一卷一起看。抛开弦论，更一般的讨论CFT本身。还有一章专门讨论有边界的CFT。
Sergei V. Ketov “Conformal field theory”，大体上内容和上面一样，但是没有介绍有边界的CFT, 但是多了一章讨论CFT和Matrix Model的关系，和一章介绍CFT和可积性理论。比较喜欢这一本书，觉得逻辑特别清晰，有一种从总体上把握的感觉，我也是看了这本后，心里有了一些CFT的自信。
从点粒子还有弦论的例子我们可以看出，量子场论的基本构成就是，场，还有场的路径积分，而往往计算路径积分我们需要量子场论的作用量或者拉氏量。量子场论的基本套路就是用路径积分计算所有的关联函数或散射振幅。共形场论是具有共形对称的量子场论。当我们说我们要求解CFT的时候，我们就是要找到场的所有的可能状态，还有求出所有的关联函数，其实所有的可能态还有所有的关联函数(还有central charge)这也定义了一个CFT。从这个定义出发，我们并不在需要作用量或拉氏量，这也是一种更广义的场论的定义。CFT的一个核心问题是，如何利用共形对称对所有的CFT进行求解和分类。对于高维的CFT, 共形对称本身可能并不足够。但是在2维，共形对称的维数是无穷。这个无穷的对称对CFT有很强的限制，有的时候可以利用对称对CFT完全求解。
2维很特殊是因为，所有的(holomorphic and antiholmorphic)的坐标变化都是共形变换。而坐标变换的生成元有无穷多个，这些生成元构成了共形代数。量子化后，这个代数因为反常(anormaly，不同的anormaly对应了不同的前面提到 central charge)被拓展成Virasoro代数。这些生成元都是定义在局部(local)的，所以不能发展成Lie群，但是其中3个是在全局定义的，而这个6个生成元正是对应了全局的的共形变换群SO(3,1)。一般来说，量子态是对称群也是对称代数的不可约表示。但是对于2维CFT,Virasoro代数不能发展成群，所以这里的量子态，我们应该考虑Virasoro代数的表示而不是共形变换群的表示。Virasoro代数的表示由源场(primary field)来表征。也就是说每一个源场都对应了一个表示，在这个表示里有很多态，但是其他所有的态都可以由源场和Virasoro代数生成元得到。这个源场几乎和我们熟悉的标量场一样，可以理解为在坐标变化下是“协变”的。如果我们找到了所有的源场，我们也就解决了第一个问题：找到所有的量子态。 源场也被称为CFT的基本场。同样的我们只需要计算有关源场的关联函数就足够了，其他所有的关联函数都可以由其得到。而这些关联函数都要满足对称性。结果所有的2个场的关联函数被完全确定，而3个场的关联函数也几乎被完全定下只差一个和这3个场有关的一个系数。其他n个场的关联函数可以总可以写成3个场和2个场的关联函数的乘积。所以只要我们找到了有关3个源场的关联函数那个不能只有对称性确定的系数，我们也就找到了所有的关联函数！ 以上的结论对所有的CFT都有效，不同的CFT只对应了不同的态还有不同的系数而已。但是我们还没有穷尽共性对称的能量。刚才我们说多余3个场的关联函数可以分解陈个多个3个场的关联函数的乘积。但是这个分解并不唯一，所有的可能分解都应该给出一致的结果。这又是一个对量子态还有系数一个很强的限制。利用这个限制有时候就可以完全求解CFT, 即使不能完全求解至少也会对CFT的量子态得到一些限制。这个就是CFT bootstrap的概念。例如Ising model 就可以用这种方法求解。
如果我们加上一些额外的限制，比如要求CFT是Unitary的，那么求解CFT还会大大简化。有些Unitary的CFT里的源场的个数是有限的，而且没有简并，这样的CFT成为minimal model。在minimal model里 因为源场只能是一些特殊的态，关联函数被进一步限制。Joshua. D. Qualls 的 “Lectures on Conformal Field theory”。是他在台湾清华大学上CFT的讲义。前面讲了CFT的物理意义，即为什么我们对CFT感兴趣。最主要的一点事CFT是QFT的“地标”。如果把所有的QFT放在一个空间里，那么他们构成一个网，节点就是CFT, 连接节点就是RG flow.
比较独特的一点是对已维度大于2的CFT, 完全从代数的角度推导出群表示。最后对bootstrap也有一些入门的介绍。还有就是对central charge的意义有很多的讨论，还有weyl 对称和conformal 对称的关系。如果只对CFT有兴趣，这个讲义已经足够应付总总。另外的对central charge有比较详细讨论的是David Tong的弦论建议，在他的个人网站上下载。如果还对AdS/CFT感兴趣，也不需要弦论背景，可以直接看Jared Kaplan的 “Lectures on AdS/CFT from the bottom up”。最经典的CFT的教材可能是Philippe Pierre & David的小黄书, 快900页了，原版的太贵，世图分2卷出版，回去一定搞一套。从量子场论还有统计力学开始讲起，里面还穿插各种必须的数学介绍，比如李代数什么的。这本完全当百科全书了，具体每个CFT的细节的时候，第一个想到的就是找这本书看看。
CFT 的内容真实太丰富了:
1. Null states， 这个很有趣，在弦论里面也很重要。因为在每一个源场的表示里，可能会有一些null state，还有可能出现negative norm的态，这些太都不允许在unitary的理论里出现。怎样去除这些态是弦论自洽的一个很重要的方面。从这个角度也可以理解minimal model。就是如果一个CFT里面可能存在无数个null state,当把他们都除去后，剩下的primay态就变成有限的了。这些minimal model的central charge 都在0和1之间。
2. state-operator correspondence. 在一般的QFT里，算符和量子态是分开来的，他们属于不同的空间。但是在CFT里面，他们有一个意义对应。这个不知是2维CFT的性质，而是所有定义在平坦空间的CFT的性质。但是如果把CFT定义在更一般的manifold上的时候，这个对应还没有建立起来。这个对应可以理解为，量子态是定义在整个空间但是某一个时间点上的，也可以说我们选取一个时空的切片，在上面放一个量子态，然后量子态在时间方向上演化。但是因为共形对称，我们可以把这个态放到无穷远，或者把这个时空切片缩小到无穷小的点，这就等效于我们在那个点上加入了一算符。可以看出这个过程很依赖空间的拓扑性质，这也是为什么对于一般的manifold，这个对应很难建立。
3. operator product expansion （OPE），这个也是CFT一个最大的特点。就是当两个算符无限接近的时候，他们的乘积是希尔伯特空间里的，也就是说两个算符的乘积当他们在空间无限接近的时候可以等价于一个一些算符的线性叠加。这个性质QFT也有，只不过在一般的QFT里，这个线性叠加的收敛半径无穷小，也就是说这个叠加发散，所以没什么大用。但是在CFT里，收敛半径是有限的。所以在远离其他算符的地方，两个算符的OPE总是收敛的。有了OPE的一个结果就是所有的代数都可以用OPE表示, 也就是所有的对易关系都有OPE来反应。也是因为OPE,所以n个场的关联函数可以分解成3场的关联函数。
4. 扩大CFT的代数结构。最简单的是，加入其他的对称，这些对称对应了conserve current, 这些current 构成了一个新的代数 Kac Moody 代数。这样我们就可以用Lie群或是Lie 群的coset来构造CFT, 比较有名的model 就是Wess-Zumino-Witten (WZW) model. 我们理解WZW为，在群manifold上的弦论。这些对称群量子化会出现anomaly，就像Virasoro 代数的拓展。要消除这个anomaly，就需要在作用量里加入一个拓扑项(Witten的贡献)。
5. 在Virasoro 代数里加入其他的源场, 考虑他们组合在一起的更一般的代数，W 代数。
6. 还有很大的一个领域是超对称的CFT
以上的这些内容大多比较成熟了，在教材还有讲义或多或少都会提及，觉得都是CFT的一些基本的概念，需要内化掌握。还有一些更前沿的研究的课题。比如CFT的deformation,还有怎么求解CFT的一些技巧，还有考虑CFT的纠缠熵什么的。
有幸自己做了一点点CFT相关的研究，作为一个契机开始对CFT有了兴趣和了解。对CFT的理解和学习才还有很长的路要走啊。
