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今天晚上做了一下LeetCode上的Median of Two Sorted Arrays这道题，没想到一次性通过了。随即想要归纳整理一下排序算法，废话少说，我们开始吧。
选择排序
这是一种最简单直观的排序算法，它的工作原理如下：每一趟从待排序的数列中选出最小的（最大的）一个元素，顺序放到已经排好序的数列的最后，直到所有待排元素全部排好。选择排序是稳定的排序算法，最坏时间复杂度是O(n^2) ，最优时间复杂度是O(n^2) ，平均时间复杂度是O(n^2)。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行选择排序的具体过程
|1 3 5 7 9 2 4 6 8 0 选择第一小的数与0位交换
i j
1 3 5 7 9 2 4 6 8 0
i j
min
0| 3 5 7 9 2 4 6 8 1 选择第二小的数与1位交换
i j
0 3 5 7 9 2 4 6 8 1
i j
min
0 1| 5 7 9 2 4 6 8 3 选择第三小的数与2位交换
0 1 2| 7 9 5 4 6 8 3 选择第四小的数与3位交换
0 1 2 3| 9 5 4 6 8 7 选择第五小的数与4位交换
0 1 2 3 4| 5 9 6 8 7 选择第六小的数与5位交换
0 1 2 3 4 5| 9 6 8 7 选择第七小的数与6位交换
0 1 2 3 4 5 6| 9 8 7 选择第八小的数与7位交换
0 1 2 3 4 5 6 7| 8 9 选择第九小的数与8位交换
0 1 2 3 4 5 6 7 8| 9 待排只剩一个数，排序结束
选择排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void selectSort(int[] nums) {
int min, temp, length = nums.length;
for (int i = 0; i < length -1; i++) {
min = i;
for (int j = i + 1; j < length; j++) {
if (nums[min] > nums[j]) {
min = j;
}
}
temp = nums[i];
nums[i] = nums[min];
nums[min] = temp;
}
}
插入排序
这也是一种简单直观的排序算法，它的工作原理如下：构建有序序列，即对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序是稳定的排序算法，最坏时间复杂度是O(n^2) ，最优时间复杂度是O(n)，平均时间复杂度是O(n^2)。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行插入排序的具体过程
1 3 5 7 9 2 4 6 8 0
1 3 5 7 9 9 4 6 8 0 temp=2
1 3 5 7 7 9 4 6 8 0
1 3 5 5 7 9 4 6 8 0
1 3 3 5 7 9 4 6 8 0
1 2 3 5 7 9 4 6 8 0
1 2 3 5 7 9 9 6 8 0 temp=4
1 2 3 5 7 7 9 6 8 0
1 2 3 5 5 7 9 6 8 0
1 2 3 4 5 7 9 6 8 0
1 2 3 4 5 7 9 9 8 0 temp=6
1 2 3 4 5 7 7 9 8 0
1 2 3 4 5 6 7 9 8 0
1 2 3 4 5 6 7 9 9 0 temp=8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 temp=0
1 2 3 4 5 6 7 8 8 9
1 2 3 4 5 6 7 7 8 9
1 2 3 4 5 6 6 7 8 9
1 2 3 4 5 5 6 7 8 9
1 2 3 4 4 5 6 7 8 9
1 2 3 3 4 5 6 7 8 9
1 2 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
插入排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void insertSort(int[] nums) {
int temp, length = nums.length;
for (int i = 1; i < length; i++) {
temp = nums[i];
int j = i;
for (; j >= 1&&temp < nums[j - 1]; j--) {
nums [j] = nums[j - 1];
}
nums[j] = temp;
}
}
希尔排序
希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种高速而稳定的改进版本。我把希尔排序叫做分组插入排序，它的工作原理如下：先把要排序的序列元素以序列长度的1/2为间隔(向下取整)两两分为一组，对每组分别进行插入排序，排完后再以序列长度的1/4为间隔(向下取整)分组，对每组分别进行插入排序，重复上述操作，直至间隔为一，即最后一趟为普通的插入排序(此时序列已基本有序)。希尔排序是不稳定的排序算法，时间复杂度取决于分组间隔gap的取值，目前最佳版本的最坏时间复杂度是O(n(lgn)^2) 。一般情况下，最坏时间复杂度是O(n^2)，最优时间复杂度是O(n)。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行插入排序的具体过程
1 3 5 7 9 2 4 6 8 0 gap=5
1 3 5 7 9 2 4 6 8 9 temp=0
1 3 5 7 0 2 4 6 8 9 gap=2
1 3 5 7 5 2 4 6 8 9 temp=0
1 3 1 7 5 2 4 6 8 9
0 3 1 7 5 2 4 6 8 9
0 3 1 7 5 2 5 6 8 9 temp=4
0 3 1 7 4 2 5 6 8 9
0 3 1 7 4 7 5 6 8 9 temp=2
0 3 1 3 4 7 5 6 8 9
0 2 1 3 4 7 5 6 8 9
0 2 1 3 4 7 5 7 8 9 temp=6
0 2 1 3 4 6 5 7 8 9 gap=1
0 2 2 3 4 6 5 7 8 9 temp=1
0 1 2 3 4 6 5 7 8 9
0 1 2 3 4 6 6 7 8 9 temp=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
希尔排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void shellSort(int[] nums) {
int temp, length = nums.length;
for (int gap = length/2; gap > 0; gap /= 2) {
for (int i = 0; i < gap ; i++) {
for (int j = i + gap; j < length; j += gap) {
temp = nums[j];
int k = j;
for (; k >= gap&&temp < nums[k - gap]; k -= gap) {
nums[k] = nums[k - gap];
}
nums[k] = temp;
}
}
}
}
冒泡排序
冒泡排序，是一种简单的排序算法。因其排序过程中较大(或小)元素会慢慢“浮到”顶部，就像鱼吐泡泡而得名。它的工作原理如下：重复地遍历要排序的序列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来，直到序列有序。冒泡排序是稳定的排序算法，最坏时间复杂度是O(n^2) ，最优时间复杂度是O(n)，平均时间复杂度是O(n^2)。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行冒泡排序的具体过程
|1 3 5 7 9 2 4 6 8 0
|1 3 5 7 9 2 4 6 0 8
|1 3 5 7 9 2 4 0 6 8
|1 3 5 7 9 2 0 4 6 8
|1 3 5 7 9 0 2 4 6 8
|1 3 5 7 0 9 2 4 6 8
|1 3 5 0 7 9 2 4 6 8
|1 3 0 5 7 9 2 4 6 8
|1 0 3 5 7 9 2 4 6 8
0 1| 3 5 7 9 2 4 6 8
0 1| 3 5 7 2 9 4 6 8
0 1| 3 5 2 7 9 4 6 8
0 1| 3 2 5 7 9 4 6 8
0 1 2 3| 5 7 9 4 6 8
0 1 2 3| 5 7 4 9 6 8
0 1 2 3| 5 4 7 9 6 8
0 1 2 3 4 5| 7 9 6 8
0 1 2 3 4 5| 7 6 9 8
0 1 2 3 4 5 6 7| 9 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9|
冒泡排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void bubbleSort(int[] nums) {
int length = nums.length;
for (int i = 0; i < length; i++) {
for (int j = length - 1; j > i; j--) {
if (nums[j - 1] > nums[j]) {
int temp = nums[j - 1];
nums[j - 1] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
}
}
}
快速排序
快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序 n 个项目要Ο(nlogn)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n^2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(nlogn) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来，且在大部分真实世界的数据，可以决定设计的选择，减少所需时间的二次方项之可能性。快速排序是不稳定的排序算法，最坏时间复杂度是O(n^2)，最优时间复杂度是O(nlogn)，平均时间复杂度是O(nlogn)。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行快速排序(递归版)的具体过程
第一遍循环
取pivot=1
1 3 5 7 9 2 4 6 8 0
i j
先从尾部j开始，找到比1小的数字往i的位置复制
0 3 5 7 9 2 4 6 8 0
i j
0比1小，被复制到i的位置，复制之后i++
0 3 5 7 9 2 4 6 8 3
i j
这时候要从头部i开始，找到比1大的数字往j的位置复制
3比1大，被复制到j的位置，复制之后j--
0 3 5 7 9 2 4 6 8 3
i
j
再次从j开始寻找比1小的数字，但是没找到，直到i和j相遇（i=j）
第一遍循环结束
0 1 5 7 9 2 4 6 8 3
把pivot复制到循环结束时i的位置
此时pivot把数组分成两部分{0}和{5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 3}
第二次循环分两部分进行
第一部分 第二部分
0 取pivot=5
只有一个数，不用排序 5 7 9 2 4 6 8 3
第一部分结束 i j
和第一遍循环一样先从j开始...
3 7 9 2 4 6 8 3
i j
3 7 9 2 4 6 8 7
i j
3 4 9 2 4 6 8 7
i j
3 4 9 2 9 6 8 7
i
j
3 4 2 2 9 6 8 7
i
j
3 4 2 5 9 6 8 7
第二遍循环结束
只有第二部分进行第三次循环
此时pivot把数组分成两部分{3, 4, 2}和{9, 6, 8, 7}
不断循环，排序，分组，直到最后每一组都只剩1个数
最后“将所有组合并”（实际上数组没有分组，只是每次对部分数据进行操作）
得到{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
快速排序(递归版、从小到大)的Java实现如下：
public static void recursiveQuickSort(int[] nums, int head, int tail) {
int i = head, j = tail;
int pivot = nums[head];
while (i < j) {
while (i < j) {
if (pivot >= nums[j]) {
nums[i++] = nums[j];
break;
}
j--;
}
while (i < j) {
if (pivot <= nums[i]) {
nums[j--] = nums[i];
break;
}
i++;
}
}
nums[i] = pivot;
if (i - 1 - head > 0) {
recursiveQuickSort(nums, head, i - 1);
}
if (tail - i - 1 > 0) {
recursiveQuickSort(nums, i + 1, tail);
}
}
归并排序
Median of Two Sorted Arrays这道题我用的排序法就是归并排序，归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。它的原理如下：先申请一个空间用于存储排序后的序列，大小为两个已经排序的序列大小之和。在两个已经排序的序列头部分别放置指针，比较指针所指元素的大小，较小的(或较大的)复制到刚刚申请的新序列空间，该指针后移，重复比较、复制到新序列尾部、后移指针，直到遍历完其中一个序列，则另一个序列的剩余元素全部原序复制到新序列尾部。归并排序是稳定的排序算法，最坏时间复杂度是O(nlogn)，最优时间复杂度是O(n)，平均时间复杂度是O(nlogn)，需要O(n)额外空间。
下面是对{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0}进行归并排序(递归版)的具体过程
{1 3 5 7 9 2 4 6 8 0}
第一层递归 {1 3 5 7 9} | {2 4 6 8 0}
第二层递归 {1 3 5} | {7 9} | {2 4 6} | {8 0}
第三层递归 {1 3} |{5}|{7}|{9} | {2 4}|{6}|{8}|{0}
第四层递归 {1}|{3}|{5}|{7}|{9} |{2}|{4}|{6}|{8}|{0}
第一层归并 {1 3} |{5}| {7 9} | {2 4}|{6}| {0 8}
第二层归并 {1 3 5} | {7 9} | {2 4 6} | {0 8}
第三层归并 {1 3 5 7 9} | {0 2 4 6 8}
第四层归并 {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}
归并排序(递归版、从小到大)的Java实现如下：
public static void merge(int[] nums, int head, int median, int tail) {
int[] nums1 = new int[median - head + 1];
int[] nums2 = new int[tail - median];
int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
System.arraycopy(nums, head, nums1, 0, length1);
System.arraycopy(nums, median + 1, nums2, 0, length2);
int i = 0, j = 0, k = head;
while (i < length1&&j < length2) {
nums[k++] = (nums1[i] < nums2[j])?nums1[i++]:nums2[j++];
}
while (i < length1) {
nums[k++] = nums1[i++];
}
while (j < length2) {
nums[k++] = nums2[j++];
}
}
public static void recursiveMergeSort(int[] nums, int head, int tail) {
int median = (head + tail)/2;
if (median != tail) {
recursiveMergeSort(nums, head, median);
recursiveMergeSort(nums, median + 1, tail);
}
merge(nums, head, median, tail);
}
堆排序
堆排序，是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，是不稳定的排序算法，且具有空间原址性：任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。
二叉堆图文介绍 参考
堆排序(大根堆、从小到大)的Java实现如下：
public static void maxHeapDown(int[] nums, int head, int tail) {
int p = head, l = 2*p + 1, r = l + 1;
int tmp = nums[p];
for (; l <= tail; p = l,l = 2*l + 1,r = l + 1) {
if (l < tail && nums[l] < nums[r]) {
l = r;
}
if (tmp >= nums[l]) {
break;
} else {
nums[p] = nums[l];
nums[l]= tmp;
}
}
}
public static void heapSort(int[] nums) {
int i, tmp, length = nums.length;
for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--) {
maxHeapDown(nums, i, length - 1);
}
for (i = length - 1; i > 0; i--) {
tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
maxHeapDown(nums, 0, i - 1);
}
}
以上7种常见排序都是基于比较的排序，基于比较的排序的时间复杂度的极限是O(nlogn)，下面我给大家介绍三种基于计算的排序算法，它们都是线性的，时间复杂度为O(n)。
桶排序
桶排序的思想特别简单，就是找出所给序列中最大的元素，新建一个大小为最大元素加一的序列并初始化为全0，所给序列中元素的大小与新建的序列的下标相对应，遍历所给序列，每遇到一个元素，以这个元素为下标的新序列的元素就自加1。桶排序是稳定的排序算法，时间复杂度为O(n)，需要O(k)额外空间。
下面我们分析一下对数组{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0， 0}进行桶排序的过程
1、遍历所给数组得到最大元素9
2、新建一个长度为9+1的数组，并初始化为全0 {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
3、遍历所给数组，遇到第一个元素1，将新建数组中下标为1的元素自加1 {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
4、同理，遇到第二个元素3，将新建数组中下标为3的元素自加1 {0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
5、遍历完成后，新数组为 {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
6、遍历新数组，当遇到非零元素时，为所给数组赋予非零元素个的下标的值，如非零元素2，下标为0，则对所给序列的前两个元素赋值0
桶排序(从小到大)的Java实现如下：
public static int maxElemOfNums(int[] nums) {
int max = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] > max) {
max = nums[i] + 1;
}
}
return max;
}
public static void bucketSort(int[] nums) {
int length = nums.length, max = maxElemOfNums(nums), i, j;
int[] bucket = new int[max];
for (i = 0; i < length; i++) {
bucket[nums[i]]++;
}
for (i = 0,j = 0; i < max; i++) {
while ((bucket[i]--) > 0) {
nums[j++] = i;
}
}
}
计数排序
计数排序是对桶排序的一种改进，其基本思想是：对于给定序列中的元素x，确定小于(大于)x的元素个数。利用这一信息，可以直接把x放到它在输出序列中的位置上。计数排序是稳定的排序算法，时间复杂度为O(n+k)，需要O(n+k)额外空间。
计数排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void countSort(int[] nums) {
int length = nums.length, max = maxElemOfNums(nums), i, j;
int[] temp = new int[length];
System.arraycopy(nums, 0, temp, 0, length);
int[] bucket = new int[max];
for (i = 0; i < length; i++) {
bucket[temp[i]]++;
}
for (i = 1; i < max; i++) {
bucket[i] += bucket[i - 1];
}
for (i = 0; i < length; i++) {
nums[bucket[temp[i]] - 1] = temp[i];
bucket[temp[i]]--;
}
}
基数排序
基数排序是对计数排序的一种改进，它是这样实现的：将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序(计数排序)。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后，数列就变成一个有序序列。基数排序是稳定的排序算法，时间复杂度为O(kn)，需要O(n)额外空间。
基数排序(从小到大)的Java实现如下：
public static void radixSort(int[] nums) {
int exp, length = nums.length, max = maxElemOfNums(nums), i;
for (exp = 1; (max - 1)/exp > 0; exp *= 10) {
int[] temp = new int[length];
int[] buckets = new int[max];
for (i = 0; i < length; i++) {
buckets[(nums[i]/exp)%10]++;
}
for (i = 1; i < max; i++) {
buckets[i] += buckets[i - 1];
}
for (i = length - 1; i >= 0; i--) {
temp[buckets[(nums[i]/exp)%10] - 1] = nums[i];
buckets[(nums[i]/exp)%10]--;
}
System.arraycopy(temp, 0, nums, 0, length);
}
}
