统计学是数据分析的基石，也是数据分析师的根本。学了统计学，你会发现很多时候的分析并不靠谱。比如很多人都喜欢用平均数去分析一个事物的结果，但是这往往是粗糙的，不准确的。如果学了统计学，那么我们就能以更多更科学的角度看待数据。用统计学作为数据分析的支撑和方向，使得分析结果更加有底气。本文主要分享描述性统计理论结合对应的python实现方式，更好的帮助大家将统计学应用到实际工作中。

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什么是描述性统计

描述性统计是通过图表或数学方法，对数据资料进行整理、分析，并对数据的分布状态、数字特征和随机变量之间关系进行评估和描述的方法。

一、描述性统计——位置度量【数据集中在哪里】

1、平均值

import pandas as pd

df = pd.DataFrame([3000,4000,4500,5000,5500,6000,20000],columns=['salary'])
df.mean()

缺点：极易受异常值的影响
解决：结尾均值或者取中位数

• 结尾均值 : 将数据进行从小到大排序后,按照一定比例去掉两端数据,只使用中间部分数据来取平均值。数据量大一般前后取5%，数据量少去头尾即可。

df[df['salary'].isin([df['salary'].min(),df['salary'].max()])==False].mean()

平均值的两个误区 !

①加权平均：给平台用户打分（近三个月的消费频次R，消费间隔F、消费金额M）

df_user = pd.DataFrame({'user_id':[1,2,3,4,5],'R':[3,6,7,10,7],'F':[10,5,9,2,6],'M':[5000,6500,7000,3500,100]})
df_user

这时我们要和业务沟通，可以依据业务经验给这三个维度一个权重值，注意权重总和为1
假如现在的权重值是【0.2,0.3.0.5】

将用户ID 为 1 用户的F值提升了1倍，总的评分才上升了3，这样的结果明显不够准确，这是大家很容易忽略的一点，造成这个问题的原因是因为量纲不一致，RF和M的值相差过大。可以通过对原始数据进行标准化和归一化解决。

• 标准化（Standardization）：将数据转换成均值为0，标准差为1的分布，并非一定是正态的，数值没有固定范围。
  
• 归一化1（Normalization）：将一列数据变化到某个固定区间中，通常这个区间是【0，1】
• 归一化2（Mean Normalization）：范围【-1，1】，将分子的Xmin换成Xmean即可。
  使用：若对数据范围有严格要求，用归一化（存在极端最大和最小值需要做截尾处理），其余用标准化。

# 标准化
#x 代表每个值，data代表一组数据
def standardization(x,data):
    value = (x - data.mean())/(data.std())
    return value
# 归一化1
def normalization1(x,data):
    value = (x - data.min())/(data.max() - data.min())
    return value
# 归一化2
def normalization2(x,data):
    value = (x - data.mean())/(data.max() - data.min())
    return value

df_user['old'] = df_user['R']*0.2+df_user['F']*0.3+df_user['M']*0.5
df_user['new']=(df_user['R'].map(lambda x:standardization(x,df_user['R'])))*0.2+(df_user['F'].map(lambda x:standardization(x,df_user['F']))*0.3+
                                                                               (df_user['M'].map(lambda x:standardization(x,df_user['M'])))*0.5)
df_user

通过标准化数据会发现，ID是1 的用户排名变成了第二，虽然消费金额不高，但是消费频次是最高的，所以对应评分是高的。标准化和归一化主要的目的，是帮助我们解决量纲不一致的问题，加权平均之前要解决量纲不一致问题，而加权平均应用场景是打分，用来做精准营销和广告投放等。

②均值使用的误区
第一天，有10 个用户，共充值了50块钱，人均充值了5块钱
第二天，有15个用户，共充值了90块钱，人均充值了6块钱
第三天，有8个用户，总共充值了64块钱，人均充值了8块钱
问这三天的日平均消费金额是多少？

2、中位数

将数据从小到大排序，取中间的数（偶数：中间两个数的平均值）

中位数代表一个样本，种群和概率分布中的一个数值，将其划分为上下相等两部分，中位数和均值越接近，说明异常值较少。

3、众数

出现次数最多的数（占比例最大，适用于非数值型数据）

4、数据分布

• 对称分布：平均值=中位数=众数
• 左偏分布：平均值<中位数<众数
• 右偏分布：众数<中位数<平均值
  注：左偏右偏是针对平均数来说的，不是视觉上

5、百分位数和四分位数

解决数据如何散布再从最小值到最大值的区间上的信息，第p个百分位数，表示至少有p%的观测值小于或者等于该值，且至少有（100-p）%的观测值大于或者等于该值

解释：至少有51%的观测值小于或等于5030，至少有49%的观测值大于5030
四分位数：第一四分位数Q1,第二四分位数Q2,第三四分位数 Q3
Q1 = 25%百分位数
Q2 = 50%百分位数 = 中位数
Q3 = 75%百分位数

二、描述性统计——变异程度度量【解决数据集中或分散程度怎么样】

1、标准差

标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量概念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和平均值差距较大；一个较小的标准差，代表这些数值和平均值接近。

• 案例：教练想选一个发挥稳定的球员，该选谁？

df2 = pd.DataFrame({'A':[20,30,25,35,35],'B':[10,50,55,15,20],'C':[15,30,40,45,20]})
print('A的历史平均分：',df2['A'].mean())
print('B的历史平均分：',df2['B'].mean())
print('C的历史平均分：',df2['C'].mean())

print('A的标准差：',np.std(df2['A']))
print('B的标准差：',np.std(df2['B']))
print('C的标准差：',np.std(df2['C']))

结论：标准差越小，代表发挥越稳定，选A。

2、极差

极差 = 最大值 - 最小值 , 极易受到异常值的影响

3、四分位间距

• IQR = Q3 - Q1
• 作为变异程度的一种独立，能够克服异常值的影响

4、偏度（Skewness）

偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布的非对称程度的数字特征。

• 当 SK>0时，值越大，右偏程度越高
• 当 SK<0时，值越小，左偏程度越高
• 当 SK=0时，对称分布

5、峰度（Kurtosls）

峰度是指次数分布曲线顶峰的尖顶程度，是次数分布的又一重要特征，通常以正态
分布为标准。

• 当变量值的次数在众数周围分布的比较集中，使次数分布区曲线正态分布曲线顶峰更为"尖峭"，称为尖顶峰度。当K > 0 ,数据尖峰，两侧存在离群值。
• 当变量值的次数在众数周围分布的比较分散，使次数分布区曲线正态分布曲线顶峰更为"平缓，称为平顶峰度。当K < 0 ,数据平峰，数据相对不集中，离群值较少。
• 当 K=0时，趋于正态分布。

# random.randn 生成标准正态分布
d = list(np.random.randn(10000))
data = pd.Series(d)
data.plot(kind='hist',density=True,edgecolor='black')
data.plot(kind='kde',color='red')

print('偏度',data.skew())
print('峰度',data.kurtosis())

结果说明：峰度和偏度接近于0，说明数据是服从正态分布的对称分布曲线。

6、单变量探索

• 数值变量：查看数据分布情况、是否有异常值和量纲问题

①五|八数概括法

最小值、第一分位数、正位数、第三四分位数、最大值

②直方图

③箱线图

• 分类变量

  
  

统计学：怎么做异常值检测？

异常值：有时数据集包含一个或多个数值异常大或异常小的观测值，这样的极端值称为异常值。
①Ksigma法
②箱线图法（用的多）

Ksigma法

• 5sigma:切比雪夫定理
  在任意一个数据集中
  所有的数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。

[mean - 2*std,mean + 2*std]

所有的数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有的数据中，至少有24/25（或96%）的数据位于平均数5个标准差范围内。

• 3sigma:经验法则（用的多）
  当数据集符合正态分布时
  那么有68.3%的数据位于平均数1个标准差范围内。
  那么有95.5%的数据位于平均数2个标准差范围内。
  那么有99.7的数据位于平均数3个标准差范围内。

def Ksigma(k,data_list):
    error_list = []
    avg = np.mean(data_list)
    std = np.std(data_list)
    t_up = avg - k*std
    t_down = avg + k*std
    print('上限',t_up,'下限',t_down)
    
    for i in data_list:
        if (i<t_up ) or (i>t_down):
            error_list.append(i)
    return error_list

3sigma虽然是常用的，但是存在一定的缺点：①数据是服从正态分布的或者近正态分布②输出的正常区间容易受异常值影响，而导致结果不准。
如何检验是否是正态分布：峰度和偏度接近0

箱线图法

能弥补Ksigma的缺点
①计算第一分位数Q1 和 第三分位数Q3
②计算IQR = Q3 -Q1
③输出正常区间[Q1-1.5IQR,Q3+1.5IQR]

def NumOutlier(data_list):
    error_list = []
    iqr = np.quantile(data_list,0.75) -  np.quantile(data_list,0.25)
    t_up = np.quantile(data_list,0.25)-1.5*iqr
    
    t_down = np.quantile(data_list,0.75)+1.5*iqr
    print('上限',t_up,'下限',t_down)
    
    for i in data_list:
        if (i<t_up ) or (i>t_down):
            error_list.append(i)
    return error_list

异常值的常用处理方法

• 删除
• 中位数替代
• 用前后两个观测值的平均值修正

7、双变量探索

①散点图

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.family'] = 'SimHei'

sca = pd.read_excel(r'C:\Users\cherich\Desktop\test_datas.xlsx',sheet_name='时长与成绩')
ti = sca['时长']
score = sca['成绩']
plt.figure(figsize=(6,4),dpi=80)
plt.scatter(ti,score,s=100,c='#6699ff',marker='*')
plt.title('学习时长和成绩之间的关系',fontsize=20,pad=10)
plt.xlabel('时长')
plt.ylabel('成绩')
plt.show()

②皮尔逊相关系数

• 目的：计算两个数值型变量的线性关系，当两个变量非线性时，相关系数为0。
• 取值范围：[-1，1]，正数代表正相关，负数代表负相关
• 相关系数分类：
  0.8~1.0 极强正相关
  0.6~0.8 强相关
  0.4~0.6 中等程度相关
  0.2~0.4 弱相关
  0~ 0.2 极弱相关或无关
• 使用皮尔逊相关系数的前提：
  两个变量之间具有线性关系
  变量是数值型
  异常值较少
  样本数最好大于30
  样本的标准差不能为0

案例：成绩和学习时长之间的关系，应如何计算？
第一步：观察是否有线性关系
第二步：看是否有异常值
第三步：看标准差是否为0

第四步：计算相关系数

结果说明：极强相关怎么理解？最终计算出的结果是一个概率值，本案例中可以理解为影响成绩的因素 92% 是和学习时长有关。

③ 斯皮尔曼相关系数

• 它能解决皮尔逊相关系数不能解决的问题，比如皮尔逊能解决线性相关问题，斯皮尔曼能解决非线性相关问题
• 目的：根据等级资料研究两个变量间相关关系的方法，它是根据两列成对等级的各对等级数之差来进行计算的
• 取值范围：[-1,1]，正数代表正相关，负数代表负相关
• 优点：处理非线性，对异常值不敏感，可用于定序型离散值变量

定序型变量：具有内在固有大小或者高低循序，一般用数字和字符来表示。如职称有高、中、低，用1，2，3表示；比如年龄段有老、中、青，用A、B、C来表示。

• 缺点：处理线性时，精确度和效率都不如皮尔逊

如何选择相关系数

• ①连续数据、线性关系、正态分布用皮尔逊最恰当
• ②上述任意一条件不满足，就用斯皮尔曼相关系数
• ③两个定序测量数据之间也用斯皮尔曼相关系数

如何判定相关还是因果关系？

相关：是两个或两个以上变量之间互相影响的的程度，核心是互为相关，同时存在没有先后顺序。
因果：前一个事件对后一个事件的作用和强度，核心点是有先后顺序的。
相关关系和因果关系的判断依据：因果关系是一定（粗暴理解相关系数为1），相关关系是一个概率问题。

8、双变量离散程度的度量——变异系数

应用场景：当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差太大或者量纲不同时，使用标准差不合适，此时就应该消除测量尺度和量纲的影响，而变异系数就能做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比。
公式：标准差/平均数

• 缺点：当平均数接近于0的时候，微小的扰动也会对变异系数产生巨大的影响，因此造成精度不足。

以上主要介绍了集中趋势的度量、离散程度的度量、分布形态的度量。当业务人员/老板拿到一堆数据，丢到你面前，让你分析。这时你不会不知所措，也不会不知道从哪一步开始整理这些数据。你可以通过概括性的度量指标，来帮我们从更科学的角度发现数据问题，开展数据分析工作。

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