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1、二叉排序树存在的问题
（1）案例数列：{1,2,3,4,5,6}，创建一颗二叉排序树(BST)
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（2）这颗BST所存在的问题
- 左子树为空，从形式上看更像是一条单链表
- 插入速度没有收到影响，和往常二叉树一样
- 查询速度明显降低(需要依次比较)，无法发挥出BST的优势；因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢。
- 解决方案：主角登场-- 平衡二叉树 (AVL)
2、何为AVL 树，基本介绍
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
- 平衡二叉树是基于二叉排序树的一种，可以说是增强吧(后面比较两者代码，起始就是扩展)
- 平衡二叉树特点：
（1）它是一颗空树，或者左右两颗子树高度差绝对值不超过 1
（2）左右两颗子树都是一颗平衡二叉树
（3）常见的实现：红黑树，AVL（这里是一种算法），替罪羊树，Treap，伸展树等下面属于AVL树的是：
image.png
3、平衡二叉树的单旋转之【左旋转】思路
- 问题分析：当插入 节点 8时，rightHeight() - leftHeight() > 1成立(柚子树大于左子树)，此时不再是一颗平衡二叉树
处理步骤如下：详情见代码 【avl 4和 avl 6】
创建一个新的节点 newNode(以 root节点 4 这个值创建)；创建一个新的节点(已经创建的 节点 4)，值等于当前根节点的值。
image.png把新节点的左子树，设置成当前节点的左子树【newNode.left = left】
image.png- 把新节点的右子树，设置成当前节点的右子树的左子树【newNode.right = right.left 】
image.png
把当前节点的值，换为右子节点的值【value = right.value】
image.png把当前节点的右子树，设置成右子树的右子树【right = right.right】
image.png把当前节点的左子树，设置为(指向)新节点【left = newNode】
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最终形态图
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左旋转动画.gif
4、平衡二叉树的单旋转之【右旋转】思路
- 问题分析：当插入 节点 6时，rightHeight() - leftHeight() > 1成立(左子树大于右子树)，此时不再是一颗平衡二叉树【右旋既降低左子树高度】
处理步骤如下：详情见代码 【avl 5和 avl 7】
创建一个新的节点 newNode(以 root节点 10 这个值创建)；创建一个新的节点(已经创建的 节点 10)，值等于当前根节点的值。
image.png把 新节点的右子树设置成当前节点(root)的右子树【newNode.right = right 】
image.png把 新节点的左子树设置成当前节点(root)的左子树的右子树【newNode.left = left.right 】
image.png把当前节点的值切换成左子节点的值【value = left.value】
image.png把当前节点(root)的左子树，设置成左子树的左子树 【left = left.left】
image.png把当前节点(root)的右子树设置成 新节点【right = newNode】
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最终形态：
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右旋转动画.gif
5、平衡二叉树的【双旋转】思路
1、左右旋转问题分析：
在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。
比如数列：
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 【左比右高2】运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树.
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树
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2、对分析出的问题解决：详情见代码 【avl 8和 avl 9】
- 情况一：如果是左子树的右子树的高度，大于左子树的左子树的高度时，就对当前跟节点先进行 左旋转，然后再对当前根节点进行右旋转。
情况二：否则对当前根节点进行右旋转即可。
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6、AVL代码实现【基于二叉排序树】
package com.kk.datastructure.tree.availabletree.avl;
/*
* @Description: 平衡二叉树（单双旋转，增删查，基于二叉排序树）
* @Author: Jk_kang
* @CreateDate: 2021/1/30 16:08
* @Param:
* @Return:
**/
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
//int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
//创建一个 AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree ( );
//添加结点
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add (new Node (arr[i]));
}
//遍历
System.out.println ("中序遍历");
avlTree.infixOrder ( );
System.out.println ("在平衡处理~~");
System.out.println ("树的高度=" + avlTree.getRoot ( ).height ( )); //3
System.out.println ("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot ( ).leftHeight ( )); // 2
System.out.println ("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot ( ).rightHeight ( )); // 2
System.out.println ("当前的根结点=" + avlTree.getRoot ( ));//8
}
}
// 平衡二叉树（基于二叉排序树）
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
// 1.先找到要删除的节点 targetNode
Node targetNode = search (value);
// 2.如果没有找到要删除的节点
if (targetNode == null) {
return;
}
// 3.如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个节点【自己】
if (root.left == null && root.right == null) {
// 只有一个节点当然是只有 root，删除的就是 root咯
root = null;
return;
}
// 4.如果不只有一个节点，去找到 targetNode 的 父节点
Node parent = searchParent (value);
// 5.情况一：如果要删除的是叶子节点
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
// 5.1 判断要删除的节点 targetNode 是父节点的左子树，还是柚子树
if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
// 是左子节点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
// 是右子节点
parent.right = null;
}
} // 情况三：删除两颗子树的节点
else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
int minValue = delRightTreeMin (targetNode.right);
targetNode.value = minValue;
}
// 情况二：删除只有一颗子树的节点
else {
// 如果要删除的节点有左子树
if (targetNode.left != null) {
if (parent != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子节点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
}
// 如果 targetNode 是 parent 的右子节点
else {
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
}
// 如果要删除的节点有右子树
else if (targetNode.right != null) {
if (parent != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子节点
if (parent.right.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
}
// 如果 targetNode 是 parent 的右子节点
else {
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
/**
* 查找的二叉排序树的最小值,然后删除
*
* @param node 传入的节点（当做二叉排序树的根节点）
* @return 返回的是 以 node 根节点的二叉排序树的最小节点的值(标识)
*/
private int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 递归查找左子树，最底下既最小
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
// 此时 target 指向了最小的节点
// 删除最小节点
delNode (target.value);
return target.value;
}
// 查找要删除的节点
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search (value);
}
}
// 查找父节点
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent (value);
}
}
// 添加节点
public void add(Node node) {
if (root == null) {// 若根节点为空，直接指向添加节点（因为他是第一个节点）
root = node;
} else {
root.add (node);
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder ( );
} else {
System.out.println ("该二叉排序树为空，无法遍历");
}
}
}
// 创建节点
class Node {
public int value;// id，或者标识
public Node left;
public Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
// avl 1:返回左子树高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height ( );
}
// avl 2:返回右子树高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height ( );
}
// avl 3:返回 以该节点为根节点的树的高度
public int height() {
return Math.max (left == null ? 0 : left.height ( ), right == null ? 0 : right.height ( )) + 1;
}
// avl 4: 左旋转方法 --- 这里的设置成，可以理解为指向
private void leteRotate() {
// 1、创建新节点，以当前根节点的值
Node newNode = new Node (value);
// 2、把新节点的左子树，设置成当前根节点的左子树
newNode.left = left;
// 3、把新节点的右子树，设置成当前根节点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
// 4、把当前根节点的值，设置成右子节点的值
value = right.value;
// 5、把当前根节点的右子树，设置成右子树的右子树
right = right.right;
// 6、把当前根节点的左子树，设置成新的节点
left = newNode;
}
// avl 5: 右旋转方法 --- 根据坐旋转反向操作即可，懒得写注释了，改成填空吧~~
private void rightRotate() {
// 1、创建新节点，以当前根节点的值
com.kk.datastructure.tree.availabletree.avl.Node newNode = new Node (value);
// 2、
newNode.right = right;
// 3
newNode.left = left.right;
// 4
value = left.value;
// 5
left = left.left;
// 6
right = newNode;
}
/**
* 递归添加节点，注意：需要满足二叉排序树规则
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断传入的节点和当前节点的值，大小关系
if (node.value < this.value) {
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 递归向左子树添加
this.left.add (node);
}
} else {// 添加节点的值，大于等于当前节点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归向右子树添加
this.right.add (node);
}
}
// //-----------------------单旋转处理-----------------------------------------
// // avl 6: 左旋处理：当添加完一个节点后，如果（右子树的高度 - 左子树的高度 ）> 1 ,那么左旋转
// if (rightHeight ( ) - leftHeight ( ) > 1) {
// leteRotate ();
// }
// // avl 7: 右旋处理：当添加完一个节点后，如果（左子树的高度 - 右子树的高度 ）> 1 ,那么右旋转
// if (leftHeight ( ) - rightHeight ( )) {
// rightRotate ();
// }
// //-----------------------单旋转处理-----------------------------------------
//-----------------------双旋转处理-----------------------------------------
// avl 8: 双旋转：左旋处理：在 avl 6 上进行扩展
if (rightHeight ( ) - leftHeight ( ) > 1) {
// 1、如果当前节点的右子树的左子树的高度，大于右子树的右子树的高度
if (right != null && right.leftHeight ( ) > right.rightHeight ( )) {
// 先对当前节点的右子树右旋转
right.rightRotate ( );
// 再对当前节点进行左旋转
leteRotate ( );
} else {
// 2、否则直接左旋
leteRotate ( );
}
}
// avl 9: 双旋转：右旋处理：在 avl 7 上进行扩展
if (leftHeight ( ) - rightHeight ( ) > 1) {
// 1、如果当前节点的左子树的右子树的高度，大于左子树的左子树的高度
if (left != null && left.rightHeight ( ) > left.leftHeight ( )) {
// 先对当前节点的左子树左旋
left.leteRotate ( );
// 再对当前节点右旋
rightRotate ( );
} else {
// 2、否则直接右旋
rightRotate ( );
}
}
//-----------------------双旋转处理-----------------------------------------
}
/**
* 查找节点
*
* @param value 要被查找节点的值(可以理解为一个标识)
* @return 如果找到返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if (this.value == value) {
return this;// 找到查找的节点
} else if (value < this.value) {// 若要查找的值小于当前节点的值，则向左子树递归查找
// 判空：若左子树节点为空
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search (value);
} else {// 若查找的值不小于当前节点的值，则向右子树递归
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search (value);
}
}
/**
* 查找父节点，个人感觉父节点在属性上面指定会好些【空间换时间】
*
* @param value 要被查找节点的值(可以理解为一个标识)
* @return 返回该值的父节点, 没有则返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
// 若当前节点 就是要被删除节点的父节点，则返回
if ((this.left != null && this.left.value == value) ||
(this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
// 若查找的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子树不等于空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent (value);// 向左子树递归查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent (value);// 向右子树递归查找
} else {
return null;// 没有找到父节点
}
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder ( );
}
System.out.println (this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder ( );
}
}
}
仓库代码定位：
image.png
