不随数域变化的的一些性质
带余除法的结果
最大公因式及互素性
多项式无重根性
三者由上到下进行推导
整系数多项式问题
命题1 )
是一个整系数多项式，如果存在正整数m，满足%2Cm%5Cnmid%20f(1)%2C...%2Cm%5Cnmid%20f(m-1))
，则
没有整数根，特别地，如果是首一的，则也没有有理根（因为首一整系数多项式有理根都是整数根）
证明：%5Cnot%3D%200%2Ck%3Dam%2Bb(b%3D0%2C1%2C2%2C...%2Cm-1))
%3DM%5Ccdot%20m%2B(a_nb%5En%2Ba_%7Bn-1%7Db%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1b%2Ba_0)%3DM%5Ccdot%20m%2Bf(b))
%5CRightarrow%20m%5Cnmid%20f(k)%5CRightarrow%20f(x)%5Cnot%3D%200%2C%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D)
经典例题
(1)设是一个整系数多项式，已知是一个整系数多项式，且%2Cf(1))
都是奇数，则无整数根。
(2)设是一个整系数多项式，已知a是偶数，b是奇数，且%2Cf(b))
都是奇数，则无整数根。
(3)已知%3Da_nx%5E%7Bn%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0)
是一个整系数多项式，已知%5Ena_n)
都不被3整除，则无整数根
艾森斯坦判别法的应用
此判别法的证明过程相当的重要，务必熟悉课本证明方法，了解每一个整除和不整除的目的。
证明过程梳理
定理叙述
(艾森斯坦判别法)设%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0)
是一个n次整系数多项式，且存在素数p使得p%5Cnmid%20a_n%20(2)p%5Cmid%20a_%7Bn-1%7D%2C...a_1%2Ca_0%20(3)p%5E2%5Cnmid%20a_0)
证明提要
- 采用反证法，假设可以分解为两个不可约多项式
%3D(b_sx%5Es%2Bb_%7Bs-1%7Dx%5E%7Bs-1%7D%2B...%2Bb_1x%2Bb_0)(c_tx%5Et%2Bc_%7Bt-1%7Dx%5E%7Bt-1%7D%2B...%2Bc_1x%2Bc_0))
- 由(1)知
,由(2)知
或
,由(3)知
不同时整除于
- 不妨假设
,将左侧分解式从右至左第一个不被p整除的系数记为
(一定能找到，由上一点知)，考虑
由于
但
故
而
故与已知条件矛盾
典型例题
设%3Da_nx%5En%2Ba%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0)
是一个整系数多项式，并且存在素数p使得
，则有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。
一个经典命题
命题1.2设%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0%2Cg(x)%3Da_0x%5En%2Ba_1x%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_%7Bn-1%7Dx%2Ba_n)
其中
，则%2Cg(x))
可约性相同
推论：推广的爱森斯坦判别法，只需满足一个就可知道另一个也是否可约
不可约因式与反证法
利用这二者为强大工具，可以进行一系列证明。
例1.已知%2Cg(x))%3D1%2C(f(x)%2Ch(x)%3D1))
，则%2Cg(x)h(x))%3D1)
证明：假设%2Cg(x)h(x))%3Dd(x)%2Cd(x)%5Cnot%3D1)
，则取)
的不可约因式)
，%5Cmid%20f(x)%2Cp(x)%5Cmid%20g(x)h(x))
，又不可约，故%5Cmid%20g(x))
或%5Cmid%20h(x))
，就会得到%3D(f(x)%2Cg(x)))
或%3D(f(x)%2Ch(x)))
，不管哪种情况，都与之前的已知矛盾。
例2.已知是两个多项式，证明：对任意正整数n，都有%2Cg(x))%5En%3D(f%5En(x)%2Cg%5En(x)))
例3.已知是两个多项式，且%2Cg(x)%3Dd(x)))
，证明：对任意正整数n有%2Cf%5E%7Bn-1%7D(x)g(x)%2C...%2Cf(x)g%5E%7Bn-1%7D(x)%2Cg%5En(x))%3Dd%5En(x))
整除问题
首先，引入一个命题，课本上作为习题出现，对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。
命题.已知m,n是正整数，则%3Dd)
%3Dx%5Ed-1)
证明：
显然有)
，又假设
满足
，由知存在
那么
例.设%3D1%2Bx%5E2%2Bx%5E4%2B...x%5E%7B2n%7D%2Cg(x)%3D1%2Bx%5E4%2Bx%5E8%2B...%2Bx%5E%7B4n%7D)
，证明%5Cmid%20g(x))
充要条件是n为偶数
一类特殊的问题
例.已知
是互异的整数，证明：
(1)%3D(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)-1)
在有理数域上不可约
(2)n是奇数时，%3D(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)%2B1)
在有理数域上不可约
(3)
n是偶数时比较繁琐：可以证明n=2或4时，在有理数域上可能可约，但
时，g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)
(4)%3D(x-a_1)%5E2(x-a_2)%5E2...(x-a_n)%5E2%2B1)
在有理数域上不可约
提示：不妨假设可约%3Dg(x)h(x))
，(1),(2)中将
带入后，可分别得到-h(a_i)%3D0)
和%2Bh(a_i)%3D0)
进一步可得到矛盾，(4)中则利用%5Cgeq%201)
推导出不可能出现分解式一会儿正，一会儿负的情况，否则由于多项式连续，介值定理知)
必存在零点，矛盾，故分解式恒正或恒负，接下来工作就较为简单了。
