记录的语言 回味的芳香
----《数学文化教程》摘录笔记一
大寨一中 高元节
认识数学：我们周围的数学世界
什么是数学
数学是一门科学，但所研究的对象并不直接存在于现实世界。由于人们的创造，经过人的想象，才有了数字，并发展成数学。（3页）
数学和龙一样，具有巨大的威力。“龙”象征着“君权”，体现出至高无上的权威。数学则因覆盖一切科学领域，也是君临天下，成为“科学的女王”。（4页）
数学的应用已经渗入到社会的各个层面，体现在日常生活之中，甚至有可能决定国家的命运。（4页）
翻开《中国大百科全书.数学》，吴文俊先生开宗明义地写道：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。（4页）
1958年，武汉大学的齐民友先生写过《竹子的哲学》一文，文中认为数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年之后，竹子开花，枯萎而死（陈旧的数学被淘汰），却留下种子，重回大地，并另生春笋破土而出（新数学的萌芽）。（4页）
关于数学的特点，一般都沿用苏联亚历山大洛夫的”三性“提法：抽象性、严谨性、广泛应用性。（5页）
数学教育变成解考题教育，数学教学的目的是通过考试，数学教师成了解题机器，解数学难题成了数学杂技。（5页）
今天的数学，已经不再仅限于纯粹数学，而是渗透到社会生活的每个角落，成为能够立即转化为生产力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支持。（5-6页）
我们周围的“数学世界”
数学在改变世界，也在改造我们的生活。（10页）
数字电视和数字地球
数字电视就是把电视画面上每点的亮度用一个二进制数来表示，彩色电视画面上的每个点就用三个二进制数（分别代表红、绿、蓝三种色彩的亮度）表示。然后可以使用计算机对这些数字信号进行各种处理。（15页）
数字电视技术有许多优越性：电视信号在被数字化后可以很方便地储存、剪辑、复制，实现回放和点播，远距离传送而不失真，等等。（15页）
什么是“数字地球”？就是把与地球有关的各种信息加以数字化，输入计算机，从而可以更方便地分析和认识我们居住的星球。确切一些说，数字地球是对真实地球机器相关现象进行统一的数字化重现和认识，其核心思想是用数字化的手段来整体描述和处理与地球有关的自然现象问题。（15页）
数字化-建立数学模型-系统仿真-虚拟现实，这天工作链中，建立数学模型是一个关键。（16页）
“数字化”来了，数学还会远吗?(16页）
数学英雄：从陈景润到王选
陈景润在1973年发表的论文中，证明了“一个充分大的偶数总可以表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”。这一结果是数学家攻克“哥德巴赫猜想”艰苦战斗中的一个重要突破，至今仍在世界上领先。（17页)
成景润所从事的是“堆垒数论”研究，属于纯粹数学。其成就主要反映人类的智力活动，体现在对数学精神的追求，成为不畏艰险攀登科学高峰的榜样。（17页）
除了在纯粹数学方面继续取得进展以外，在应用数学上也出现了重大突破。其中一个突出的代表是以王选为总裁的方正集团开发了“汉字激光照排系统印刷技术”。（17-18页）
我们不能把数学局限于纯粹数学，更不可把数学的作用仅仅看成是“思想体操”。数学已经从社会的幕后走向台前，直接为人类创造财富了。（19页）
数学是人类文明的火车头
前言
历史表明，世界的军事经济强国一定是数学强国。时至今日，美国数学一马当先。（22页）
数学是人类文明的火车头
----简述四个数学高峰
第一个高峰：古希腊的演绎数学时期
数学的起源可以追溯到上古时期，尼罗河文明、两河流域文明、印度文明和华夏文明都作出过杰出的贡献。欧几里得的《几何原本》成为影响人类文明进程的里程碑。《几何原本》是仅次于圣经的印刷数量最多的作品。《九章算术》确立了中国古代数学的算法体系，也是中国古代科学文明的代表作。（23-24页）
2.第二个高峰：牛顿-莱布尼茨的微积分时期
17-18世纪，可以说是一个数学力量所向披靡的时代。尽管“无穷小”思想被贝克莱大主教斥责为“逝去了量的鬼很”，很不严格。可是实践证明了微积分算法的巨大威力。在力学、光学、工程技术领域获得的成功确立了微积分的划时代的历史低位。（24页）
第三个高峰：希尔伯特为代表的形式主义公理化时期
理性思维、严密证明成为数学时尚。希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、独立的、完全的”公理体系之上，一劳永逸地树立数学的真理性。（24-25页）
第四个高峰：以计算机技术为标志的新数学时期
一切高新技术的背后往往都有数学技术在支持，数学技术已成为知识经济时代的一个重要特征。（25页）
古希腊为代表的地中海数学文明
地中海沿岸是人类发源地之一。最早的数学记录可溯源于公元前两千多年的苏美尔文化。（26页）
每位科学家以当选科学院院士为最高的学术荣誉。（28页）
古希腊数学与古代中国数学的比较
中国是世界文明古国，具有唯一延续至今没有中断的历史文明。（31页）
三国时代数学家刘徽注释的《九章算术》采用问题集的形式，全书共有246个问题，分为以下九章：
（1）方田：土地丈量中的面积计算。
（2）粟米：物品交换中的兑换比例。
（3）衰分：计工、税收中按等级、比例分配。
（4）少广：面积体积重开放、开立方。
（5）商功：筑城、开渠等的土方计算。
（6）均输：按人口、路途的实物摊派与运输。
（7）盈不足：关于依某法“盈”依另法“不足”的数学模型。
（8）方程：线性方程组问题。
（9）勾股：利用狗固定理解决测量计算问题。
中国古代算学的“实用性”，由此可见。（32-33页）
一个突出的成果记载在《隋书》中：祖冲之（429-500）求出圆周率的近似值为3.1415926<<3.1415927，在世界上独步千年。由此可见中国“算学”的伟大与成功。（33页）
古代数学史的成就，不能单纯以发现的迟早论英雄。主要看数学成就所蕴涵的特殊思想，考察它能对人类文明做出何等的贡献。要说如何用数学史内容进行爱国主义教育，吴文俊先生的工作是一个典范。（34页）
徐光启盛赞此书（《几何原本》）“能令学理者祛其浮气练其精心，学事者资其定法发其巧思，故举世无一人不当学。”“能精此书者无一事不可精，好学此书者无一事不可学。”他对此书极其推崇，指出“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”（34-35页）
《几何原本》从5条公设和5条公理出发，运用逻辑推理证明了465个命题，从而演绎出整个古典几何学体系。（35页）
公设：（1）从任意一点到任意另外一点可作一条直线。
（2）可从一条直线上连续地去除有限长直线（段）。
（3）可以用任意圆心和半径作圆。
（4）所有的直角都相等。
（5）若一条直线与另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
公理：（1）与同一个事物相等的事物彼此相等。
（2）等量加等量，其和仍相等。
（3）等量减等量，其和仍相等。
（4）彼此重合的事物彼此相等。
（5）整体大于部分。（37-38页）
8.为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？（39页）
9.数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。（39页）
10.直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。（39页）
第四节 黄金时代：从牛顿到高斯
1.牛顿概括前人的成果，完成了微积分学的创立，并且把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具。（41页）
2.高斯是全能数学家，数论、分析、几何、代数、概率等领域，都有他的足迹。一个家喻户晓的故事，说从1加到100是多少？高斯的另一个著名工作首先证明，任何一个n次底数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面......以高斯明明的数学名词数不胜数。（42页）
第五节 信息时代的数学
----20世纪世界数学中心的变迁
自从电子计算机问世以来，数学更趋向于应用。一张纸、一支笔、一个脑袋的研究方法，已经由于计算机的介入而被打破。（48-49页）
目前国际数学大势是：美国继续领先，西欧紧随其后，俄罗斯蓄势待发，日本正在迎头赶上。至于中国数学，目前还是未知数。一旦潜在的力量释放出来，北京也许是又一个国际数学中心。（49页）
第六节 国际数学联盟与国际数学家大会
1.2002年8月20日，国际数学家大会在背景开幕。这一数学家的盛会，第一次在一个发展中国家举行，又是21世纪的第一次国际数学家大会，人们期待着国际数学合作将由此揭开新篇章。（51页）
国际数学联盟主持颁发的数学奖有四个：菲尔兹奖、奈旺林纳奖、高斯奖和陈省身奖。（56页）
第七节 考据训诂导致逻辑推断
---乾嘉学派对数学的影响
考据学是中国一门土生土长的学问。自雍正一朝大兴文字狱之后，清朝的知识分子不得不钻进故纸堆，沉浸于考据之学。（58页）
考据学和逻辑学的关系，实际上是很密切的。通常说：“有一份证据说一份话，有九分证据不说十分话”，这是逻辑学的基本原则。（61页）
20世纪的中国现代学
1.1898年京师大学堂成立，先后派遣一些学生到日本学习数学，其中有冯祖荀（1880-1943），后来长期担任北京大学数学系主任。（61-62页）
2.1949年之后，中国数学界的规模迅速扩大，数学门类逐渐齐全，并能够为国民经济和国防事业服务。（62-63页）
“21世纪数学大国”是中国数学界的共同愿望，经过几代人的不懈努力，这一理想正在逐步变为现实。（63页）
纯粹数学的一些基本概念
集合和基数
在一般的教科书中，通常用描述性的“定义”来说明集合这个概念：集合是具有一定性质的事物的全体。（67页）
“一义性”：即对于任何一个事物y和任何一个集合B，“y是集合B中的一个事物”与“y不是集合B中的一个事物”，必定有一个断言而且只有一个断言是正确的。（67页）
集合悖论：（1）理发师悖论（2）语义悖论（68页）
数学家重新研究了集合论的基础，尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的基础，尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的公理系统，其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制，使之得以消除产生悖论的可能。（68页）
关系和函数
事物之间存在着各种各样的联系。而事物的性质也只有从它们的相互联系中才能被认识。（74页）
数学中有以下几种最基本的关系：（1）等价关系（自反性、对称性、传递性）；（2）序关系（反对称性、传递性、二歧性）；（3）相关关系和函数关系（74-77页）
群：代数结构
数学有三种母结构：代数结构，如群、环、域等；序结构，全序、偏序等；拓扑结构，邻域、距离空间、同伦、同调等。（80页）
由于减法和除法是加法和乘法的逆运算，我们看到，在一个集合内一种运算可行，其逆运算不一定可行。（80页）
群的概念把一些本来似乎没有关联的对象，赋予一定的结构，从而可以探索其间的规律。（84页）
橡皮几何：拓扑结构
一般地说，图形在连续变形时大小、长短、形状都会改变，但是有些性质却保持不变。（85页）
事实上，在拓扑变换下球面有两个不变的性质，即两个拓扑性质：
球面是闭曲面，它没有边界。
如果沿着球面上任何一条闭曲线切开橡皮球，橡皮球就会分成互不相连的两部分。（86页）
任何平面地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同颜色。这就是所谓的“四色猜想”。“四色猜想是拓扑学中的著名问题。（91页）
三种基本数学结构
“布尔巴基”数学学派，仿照古希腊的《几何原本》，推出了取名为《数学原本》的系列著作，其核心思想是认为：整个数学是由在集合上不断叠加的各种结构而形成的。它们认为数学有三种母结构：代数结构、序列结构和驼鹿结构。（92页）
所谓橡皮几何，是要“连续地拉扯变形下的不变性质”。那么何为“连续”？连续是连绵不断的意思。于是，两点间如果有距离，就可以用来表示不断裂，即没一点与附近各点的距离都不会太大。因为距离可以描述连绵不断，所以它是一种拓扑结构。（93页）
