数值分析：误差

1 误差的来源

模型误差：数学模型与实际问题之间出现的误差
方法误差：由数值计算方法所得到的近似解与模型的准确解的误差
舍入误差：计算机执行算法时由于字长等原因产生的误差
观测误差：由实验观测或测量产生的误差

数值计算只考虑方法误差与舍入误差。（重点！！敲黑板！！）

1.1 方法误差举例

例1：求积分 $\int^1_0{e^{-x^2}}$
解：显然，这个积分的被积函数不存在原函数。因此需要采用数值积分方法求解。
由于可微函数可以使用泰勒（Taylor）展开（重点！！）近似替代
$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{’}(x_0)}{1!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
则数值方法的方法误差是
$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

1.2 舍入误差

由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差
由于原始数据或机器中的十进制转化为二进制数产生的初始误差。

由于实数集是无穷多个数，而计算机内部是以二进制表示，在转换过程中会存在误差。

2 误差的概念

设 x* 是准确值 x 的一个近似值

绝对误差
$\epsilon(x^*)=x-x^*$
绝对误差限
$|\epsilon(x^*)|=|x-x^*|\le\epsilon$
相对误差
$\epsilon_r(x^*)=\frac{\epsilon(x^*)}{x}=\frac{x-x^*}{x}$
相对误差限
$|\epsilon_r(x^*)|=|\frac{\epsilon(x^*)}{x}|=|\frac{x-x^*}{x}|\le\epsilon_r$

3 有效数字

若近似值 x* 的误差限是某一单位的半个单位，该位到近似值 x* 的第一位非零数字共有 n 位，就说该近似值有 n 位有效数字。

定理1：设近似数 x* 表示为
$x^*= \pm 10^m \times (a_1+a_2 \times 10^{-1} + ... + a_n \times 10^{-(l-1)})$ $(a_1 \neq 0)$
其中 $a_i(i=1,2,...,l)$ 是 0 到 9 中的一个数字， $a_1 \neq 0$ ，m 为整数。
若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限
$\epsilon^*_r \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{-n+1}$
反之，则 x* 至少存在 n 位有效数字。

4 数值计算中的误差估计

和（差）的误差限等于误差限之和
$\epsilon(x^*+y^*) \le \epsilon(x^*)+\epsilon(y^*)$
积的误差限
$\epsilon(x^* \times y^*) \le |x^*|\epsilon(y^*) + |y^*|\epsilon(x^*)$
商的误差限
$\epsilon(\frac{x^*}{y^*}) \le \frac{|x^*|\epsilon(y^*)+|y^*|\epsilon(x^*)}{y^{*2}}$
函数的误差限
$\epsilon(f(x^*)) \approx|f^{’}(x^*)|\epsilon(x^*)$

5 误差分析的基本原则

注意避免两个相近的数相减
避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
防止大数吃小数
简化计算步骤，减少运算次数

除了要注意以上原则，通常还应注意不采用不稳定的算法，设计算法时还应尽量避免误差危害。

最后编辑于：2019.03.27 11:00:27

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 202,905评论 5赞 476
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,140评论 2赞 379
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 149,791评论 0赞 335
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,483评论 1赞 273
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,476评论 5赞 364
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,516评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,905评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,560评论 0赞 256
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,778评论 1赞 296
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,557评论 2赞 319
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,635评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,338评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,925评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,898评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,142评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,818评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,347评论 2赞 342