噪声系数的推导

噪声系数的公式

教材上的公式

当放大器对信号进行放大时，必然要降低入射信号的信噪比，可以用放大器的噪声系数F来表征这种影响的大小。最原始噪声因子公式定义为放大器输入端信噪比和输出端信噪比的比值
$F=\frac{{SNR}_{input}}{{SNR}_{output}}=\frac{\frac{P_{in}}{N_{in}}}{\frac{P_{out}}{N_{out}}}=\frac{N_{out}}{GN_{in}}$

这里的SNR指的是将光信号转换成电信号的信噪比。一般来说，F与探测器的点噪声和热噪声有关。

我们可以在点噪声极限的理想探测器情况下求出F的表达式。输入信号的SNR为

$(SNR)_{in}=\frac{<I>^2}{\sigma_s^2}=\frac{(RP_{in})^2}{2q(RP_{in})\Delta f}=\frac{P_{in}}{2h\nu \Delta f}$
式中，Pin为入射信号光功率，<I>=RPin表示平均光电流，R=q/hv为理想探测器（量子效率为1）的响应度， $\sigma_s^2=2q(RP_{in})\Delta f$ 为探测器的点噪声，Δf为探测器的带宽

在求放大器输出信号的SNR时，应考虑到放大器自发辐射对探测器噪声的贡献，ASE导致的噪声近似为白噪声，噪声功率谱密度为
$S_{sp} = (G - 1) n_{sp} h \nu$
其中, $n_{sp}$ 为自发辐射系数（因子）或反转数因子，对于二能级系统，它等于激发态的粒子数除以激发态和基态粒子数的差值
$n_{sp} = \frac{N_{2}}{N_{2} - N_{1}}$

自发辐射对放大器输出功率的影响在于探测过程中它引起光电流漂移，研究表明这种影响主要来源于自发辐射和信号的差拍噪声，这样在放大器出端探测器上的噪声为
$\sigma ^2 = 2q(RGP_{in})\Delta f + 4(RGP_{in})(RS_{sp})\Delta f$
其中，第一项表示点噪声，第二项表示自发辐射-信号差拍噪声，为了简化 我们忽略了其他的噪声。

当G远远大于1时可得出，放大器的噪声指数为
$NF = \frac{2(G-1)n_{sp}}{G} = 2*n_{sp}$

公式的拓展

上式是基于光子数波动（photon number fluctuations, pnf），即
$F_{pnf} \approx \frac{1}{G}+2n_{sp}(1-1/G)$

但是，该式不能计算级联情况下的噪声系数，且放大器出端探测器上的噪声只考虑了两项，并不准确，因为信号光子数并不总是那么大。因此H. A. Haus等人对标准的噪声系数做了推广

将SNR定义为信号功率（或者能量）除以信号幅度的均方涨落（mean square fluctuation）
以场振幅平方（field amplitudes squared, fas）形式的噪声系数为
$F_{fas}=\frac{\frac{h \nu <n_s> }{h \nu /2}}{\frac{h \nu G <n_s>}{(h \nu /2)(1+n_{sp}(G-1))}}=1+n_{sp}(1-1/G)$

这种噪声系数是信号无关的，然而无法直接测量。一个变化形式的拓展噪声系数公式给出如下
$F_{ASE}-1 \equiv \frac{ASE noise power}{G h \nu B_s} = \frac{n_{sp}(G-1)}{G}=n_{sp}(1-1/G)$
该式有三个优点

可测量（计算）
给出了噪声统计的完整信息
服从级联公式

$F_{ASE}$ 公式与 $F_{fas}$ 公式是一致的， $F_{ASE} = F_{fas}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 199,519评论 5赞 468
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 83,842评论 2赞 376
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 146,544评论 0赞 330
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 53,742评论 1赞 271
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 62,646评论 5赞 359
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,027评论 1赞 275
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,513评论 3赞 390
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,169评论 0赞 254
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,324评论 1赞 294
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,268评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,299评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 32,996评论 3赞 315
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,591评论 3赞 303
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,667评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 30,911评论 1赞 255
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,288评论 2赞 345
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 41,871评论 2赞 341

噪声系数的推导

噪声系数的公式

教材上的公式

公式的拓展

推荐阅读更多精彩内容