我们已经掌握了图的概念和基本操作，接下来了解一下图可以解决的问题。图主要用来解决多对多问题，比如有多个起点和终点，或者有多种选择的问题。例如我们要从下图中找到能连通每个顶点的最短路径，或者寻找从顶点v0到顶点v3的最短路径：
现在我们要研究的就是寻找能连通每个顶点的最短路径，我们称这种构造连通网的最小代价生成树为最小生成树。这个问题有两个经典的算法，分别是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆（Prim）算法
普里姆算法的思想是每次都从未选择的顶点中选择代价最小的顶点，并更新剩余顶点的最小代价值。我们以上图为例，演示普里姆算法的过程。
首先选择一个顶点，比如v0，与v0相连的顶点记它的最小代价值为实际值，其余顶点记为∞，如下所示：
接下来选择距离v0最近的顶点v1加入已选列表，并更新剩余结点到已选列表的距离值，如下所示：
接下来再次选择距离已选列表最近的顶点，很显然v5最近，选择后结果如下：
按照同样的方式，我们选择v8加入已选列表，如下所示：
重复这一操作，最后我们可以得到如下路径，就是我们要构造的最小生成树：
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
普里姆算法是从顶点出发，我们也可以从边出发，克鲁斯卡尔算法就是每次选择合适的最小的边加入已选列表，直至所有顶点都连通。我们依然以上图为例，演示它的过程。
因为要对边进行操作，所以首先应该对所有的边按照代价大小排序，还记得图的边集数组存储方式吗？我们把边排序后就放在一个边集数组中，如下所示：
首先，我们把每个顶点都看作一棵独立的树，这些顶点组成了一个森林，而我们的目的就是把这个森林组合成一棵树，如下所示：
第一步，我们从边集数组中取最短的边，将森林中的对应顶点连接起来，第一个边就是(v4, v7)，weight为7，如下所示：
顶点v4和v7现在就属于同一棵树了，接下来我们再找最短的边，它的两个就不能在同一棵树上，第二条边是(v2, v8)，如下所示：
按照同样的步骤，我们继续连接剩下的边，直到连接完(v3, v7)如下：
接下来最短的边是(v5, v6)，但是顶点v5和v6在同一棵树上，如果把它们连起来，就会形成一个环，这明显是不对的，所以这个边是无效的。接下来的(v1, v2)同理，所以我们应该连接(v6, v7)，如下所示：
至此，所有的顶点都连通了，可以看到，结果和普里姆算法是一致的。
代码实现
普里姆算法
依然以邻接矩阵为例，演示普里姆算法的实现过程，代码如下所示：
public <T> void prim(AMGraph<T> graph) {
int len = graph.getVertexNum();
int min = 0;
// 相关顶点的坐标
int[] adjvex = new int[len];
// 最小代价
int[] lowcost = new int[len];
// 将位置0的顶点加入生成树，设置lowcost为0
lowcost[0] = 0;
adjvex[0] = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
// 和v0相连的顶点的权值存入数组
lowcost[i] = graph.getWeight(0, i);
// 全部坐标都初始化为v0下标
adjvex[i] = 0;
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
// INFINITE是一个不可能的值，这里设置为Int的最大值
min = INFINITE;
int j = 1, k = 0;
while (j < len) {
// 循环剩下的全部顶点，寻找lowcoast
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
min = lowcost[j];
k = j;
}
j++;
}
System.out.println("当前顶点中最小权值的边是：(" + adjvex[k] + ", " + k + ")" + "最小值为：" + min);
// 把此顶点的权值设为0
lowcost[k] = 0;
for (j = 1; j < len; j++) {
// 把当前的k顶点加入已选列表，并更新剩余顶点的权值
if (lowcost[j] != 0 && graph.getWeight(k, j) < lowcost[j]) {
lowcost[j] = graph.getWeight(k, j);
adjvex[j] = k;
}
}
}
}
可以看到，因为双重for循环的原因，普里姆算法的时间复杂度为O(n2)。
克鲁斯卡尔算法
public void kruskal(Edge[] edges) {
int len = edges.length;
// 定义一个数组，保存每个顶点的父结点，也就是它所在的树结构中的父结点
int[] parent = new int[len];
for (int i = 0; i < len; i++) {
parent[i] = 0;
}
int begin,end;
for (int i = 0; i < len; i++) {
// begin顶点所在树的根结点
begin = find(parent,edges[i].getBegin());
// end顶点所在树的根结点
end = find(parent,edges[i].getEnd());
// 不在同一棵树上
if (end != begin){
parent[end] = begin;
System.out.println("加入边：(" + edges[i].getBegin()+", "+edges[i].getEnd() +") , weight = "+edges[i].getWeight());
}
}
}
private int find(int[] parent, int find){
// 找到这棵树的根结点
while (parent[find]>0){
find = parent[find];
}
return find;
}
这里省略了把邻接矩阵转为边集数组和对边集数组进行排序的代码。可以看到，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度和边的个数有关，记边的个数为e，则其时间复杂度为O(eloge)。
总结
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都有其适用范围，虽然克鲁斯卡尔算法的时间复杂度较低，但是它的实际值和边的个数有很大关系，当边数很少时，它的效率十分高。而在边数很多的稠密图中，使用普里姆算法会更好一些。
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