从我研究的历年真题中不难看出，考研数学考试大纲（数学一、数学二、数学三）近五年没有任何变
化，这说明考研命题的规律依然延续往年的原则，不会出现偏题、怪题、超纲题目，仍然以考察基本概念、
基本理论和基本方法为主，所以按照HW老师给出的学习计划按部就班地放心复习，努力就一定会有更大
的收获，更好的成绩。
与中值相关的证明题是历年考研试题中的重点也是难点，得分率不高，考生对具体定理的条件结论能
看明白，但是做题的时候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具体的知识点和考题结合起来，不会归
纳其中的常考题型，这里我们万学教育HW考研的数学老师将要重点介绍与中值相关的证明题的处理手
法，以期起到举一反三的作用。根据我们的统计分析，微分中值定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日
定理考查频繁，而柯西中值定理考查相对较少，一般数学一、数学二更容易考查。首先，我们对比分析一
下它们的条件、结论与可命题角度。
先来看罗尔定理，罗尔定理的条件是闭区间上连续，开区间内可导，端点值相等，结论是至少存在一
点，使得，即导函数有零点，从结论上就可以看出来罗尔定理可以用来证明导函数有
零点。罗尔定理有三个可命题角度：1.证明：或者，2.证明：
，3.导函数零点个数的讨论。
再来看第二个重要的定理-拉格朗日中值定理，它的条件是闭区间上连续，开区间内可导，结论是至
少存在一点，使得。下拉格朗日中值定理也有三个可命题角度，1.含有端点
值中值等式的证明，2.不等式的证明（出现函数值之差），3.讨论函数有界性。
最后咱们简单地看一下柯西中值定理，条件是闭区间上连续，开区间内可导，,结论是至少
存在一点，使。柯西中值定理主要是用来证明含有中值的等式
。它与罗尔以及拉格朗日中值定理有一个很好区
分的特征——包含两个函数。
现在给大家讲了三个中值定理的条件、结论以及可命题的角度，那么考生们在做题过程中会遇到什么
样的困难呢？主要有三点，第一点：定理的选择。要证明一个含有中值的等式，到底是用罗尔定理？拉格
朗日中值定理？还是柯西？第二点：辅助函数的构造。我们在证明含有中值的等式时，往往需要构造辅助
函数，如何构造辅助函数也是一个难点。第三点：条件的验证。比如说要用罗尔定理证明导函数有零点，
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此时要保证函数在区间内有两点的函数值相同，这两点不一定是端点，如何找到这两点比较困难。
首先，定理的选择有赖于对定理的深入了解，我们前面的陈述已经是初露端倪。根据条件、结论的不
同以及问题的难易程度，我们推荐如下次序：对于结论中不含端点信息的题目，我们考虑罗尔定理，对于
结论中含有端点信息的题目，我们首先考虑用拉格朗日中值定理，先构造一个辅助函数试验一下，如果得
不到所需结果，再考虑用柯西中值定理（如果条件中明显出现两个不同函数，或者某个函数的导数非0，
则首选柯西中值定理）。对于较少考到的“双中值问题”（结论中出现两个中值），一般考虑用两次拉
格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次，辅助函数的构造有如下常用手段。1.观察联想法。我们可以通过观察所要证明等式的形式,看
它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同，当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括
号内的函数就是我们所要构造的辅助函数；当不相似的时候，我们考虑加个因子，变成相似。加的因
子多为指数函数和幂函数.这是几个常见的形式：
2.原函数法。当出现与等有关的等式时，我们把结论中的换成后，经过适当恒等变形
（通分、十字交叉相乘、移项等）使等式右端为0,通常等式左端即为所要构造的函数导函数。
在很多情况下，我们对等式左端进行积分就可以得到辅助函数，我们再验证辅助函数是否满足微分中
值定理的条件，这就是原函数法，也称积分构造法.。
3.K值法。当我们要证明含有或且含有端点的等式时，常可以把含有的式子设
为，通过恒等变形（通分、交叉相乘、移项等）使得等式的右端为零，把等式中右端点换成，等式
左端的式子即为辅助函数，这就是k值法。
早我看来，只要大家把握微分中值定理的条件、结论与常考题型，多做有代表性的相关习题，时常
回顾总结，一定能突破考研数学中的重难点。
