2018年9月，菲尔茨奖和阿贝尔奖双奖得主阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想，不过遗憾后来没有被认同。2022年11月，张益唐教授宣称解决了广义黎曼猜想的狄利克雷L函数出发引申出朗道-西格尔零点猜想。这两次事件都引发了人们对黎曼猜想的热情。看了卢昌海的《黎曼猜想漫谈-一场攀登数学高峰的天才盛宴》这本科普书，做了一个认真的梳理。黎曼猜想到底说的是什么？有几种类型，等等，这些都不那么容易理解。黎曼猜想和素数分布之间，存在着深刻的联系。最不可思议的是，居然和量子系统中轨道能级存在一对一的关系。当然在研究过程中创造了新工具新方法，而且1000多条定理，都是建立在黎曼猜想成立的前提之下，所以真的是有必要认真了解。
然后对黎曼猜想用大白话做一个简单介绍。,当 s=1时，是调和级数，是发散的，当s=2时，欧拉证明了其和为
。事实上，当s>1时，ζ(s)都是收敛的。ζ(s)=0 有解吗？遗憾，当s>1时，没有根。
于是，爱折腾的数学家门就想办法把泽塔函数ζ(s)的定义域扩大，可是必须要保证ζ(s)收敛前提下才有可能。于是，把s由实数扩展到复数，有三个条件 1）保证s>1时，函数表达式与①式一样。2）在新的定义域中，即s≤1区域，每一个点都是可以无穷可导的，也称为可解析的，至多有有限个奇点不能满足这个条件。 3）新的函数是唯一的。满足这三个条件的变换就是解析延拓。这个函数可以通过围道积分得到，于是就有了②式。
对于②式，黎曼ζ函数ζ(s)=0就有解了，根（也叫零点）分为两个部分，一个平凡零点，当 时。另外一部分是非平凡零点。
黎曼猜想断言：解析延拓后的黎曼ζ(s)函数，其所有非平凡零点的实部都是 1/2，也就是说非平凡零点都有如下形式： ，（i为虚数单位，t为实数)，非平凡零点全部在在复平面上
的一条直线（临界线）上。
如果对黎曼函数选取的条件更宽泛，但是保持三个条件，1）结论可以推导出普通黎曼猜想。2）非平凡零点的实部都是 1/2 。3）和素数的分布有某种联系，那么还可以扩展为广义黎曼猜想、扩展黎曼猜想、大黎曼猜想！他们依据的函数不同，但是黎曼ζ函数都是这些函数的一个特例。
这个内容比较复杂了，建议直接看书吧。
