很久没碰数学了，所以很多东西都生疏了。

　　然后最近抽空在看Einstein－Cartan流形上的经典引力理论和场论。

　　这货和普通Einstein流形的区别在于，引入了扰率张量，而扰率张量被发现可以和粒子的自旋有耦合（是一种代数关系而不是能量－动量和时空度规张量所具有的高阶偏微分方程关系，所以这就是说，有自旋的地方有扰率，没自旋的地方没扰率，也所以由扰率负责传递的引力在经典物理框架下是接触式的，仅在两个粒子相撞的时候做出贡献）。

　　到这里其实完全没有进入正题。

　　扰率的引入有一个很有趣的话题。

　　对极值曲线方程，扰率没影响，但对自平行曲线和与度规的适配条件则会产生影响，它们中都会出现扰率张量的贡献。

　　如果把经历集中在适配条件上，我们会发现现在适配联络在原本克氏符的基础上，增加了扰率的贡献，而扰率本身还是一个自由量——在Einstein－Cartan理论中是由自旋决定的。

　　有意思的事情却并没有到此结束，让我们跳出原本的微分几何框架，来考虑一件很疯狂的事情——

　　如果度规不是对称的，会发生什么？

　　度规的作用有两个，一个是给出一个矢量在流形上某一点上的长度，所以和位置相关，和方向相关；另一点，即使度规直接定义了内积——而内积是什么，以及内积的重要性，我想不需要多解释。最有名的无穷空间中的内积就是两个函数的卷积，而这货在傅立叶变换为基础的小波分析中比比皆是。

　　上述两个职责——一个给出度量一个给出内积，其实是两个完全无关的方面，或者我们也可以认为内积定义了度量，虽然在流形上给出度量结构的时候并不需要先定义内积结构，比如著名的Finsler几何就是先给出度量再给出内积的，因此和我们直观上的度量的表达形式所“推导”出的内积和度量的先后关系正好相反。

　　这里且先搁置下，让我们来看看前面说的那件很疯狂的事情——度规如果不对称，会怎么样？

　　对度规的度量作用来说，对称不对称完全没有分别，而关键就在于度规的内积作用上——如果度规张量是非对称的，那就表示流形上矢量的内积是分先后的，<A,B>和<B,A>是不相等的。

　　这是一件非常奇葩的事情，和所有关于几何的传统以及现代认识完全相悖，因为我们给“内积”下的定义中就有一条：内积对两个矢量是对称的。

　　所以，非对称的内积从一开始就不是内积，因为和内积的定义矛盾。

　　但，问题接着就出现了——谁说内积一定要对称的？除了我们给内积下的定义以外有别的证据来说明一个几何对象的内积必须是对称的嘛？

　　这就牵扯到我在《庸人几多自扰》中所提到的那个问题——到底是我们只能如此定义内积，还是只是我们习惯了如此定义内积？

内积乃至一切数学概念到底是可以被唯一准确定义的，还是存在大量人为任意性？

　　说再深一点，对于实际上不可检测的数学理论（科学哲学上所用的居然是“不可观测”一词……），我们对其所作的结论和定义到底是对真实存在的本体的描述还是仅仅是工具性的描述？

　　对这个问题的深入恐怕是科学哲学和数学哲学中的艰深问题，而就我最近所看下来的感觉，这个问题其实更多是鸡同鸭讲，大家从不同的出发点入手总能得到截然不同的结果，所以其实争到后来就没意义了。

　　就我看来，数学就整体而言，所研究的是一切逻辑上和形式上可存在之物所内秉固有及彼此之间相互具有的属性和联系及其演化的学科。既然是一切可能存在之物，那么可以存在对称的内积定义及其几何，自然也可以存在非对称的内积定义及其几何了。

　　所以，我并不认为内积就一定要是对称的。人们之所以现在使用对称的内积定义，其唯一的原因是我们过去所研究的都是对称的内积所对应的几何，所以久而久之就约定俗成地规定了内积必须是对称的——这本非内积的固有属性，而是人的研究所附加上的约束条件。

　　而且，几何和别的数学领域如代数还有不同（当然，这里不牵扯诸如代数几何和几何代数这种乱七八糟的高深学问），几何是具有很强直观性的“可观察”的，我们总能画出来一些东西，而且这些东西在现实世界中总是可以直接观察到的——而代数比如群论的东西，我们虽然可以说它通过纤维丛及而规范场论及而量子力学及而固体物体从而最终体现在现实世界里，但这里所经过的桥梁太多以至于我并不认为这算是“可观察”的直接效应。

　　说这点是因为，我总认为几何是需要一定的现实性的——所以当我们讨论几何的时候总会考虑这种几何定义的选择对物理世界的影响，因为内积是否必须对称直接影响到了建筑在其上的引力理论。

　　废话说了一大堆，让我们继续回头看度规的问题。

　　度规所对应的内积是否一定要对称？这个且先不提。让我们看看内积究竟是什么。

　　当我们从完全数学形式化的内积定义着眼的时候其实我们发现内积除了是一堆数学规则外似乎什么都不是——从这对数学规则出发我们并不能直观地看到内积的几何意义，而只能对其在数学推演过程中的操作意义有所了解。

　　再进一步，就初等几何直觉来说，内积似乎负责这么几件事情——一，两个矢量的夹角，以及二，一个矢量到另一个矢量的投影。

　　我们的直接总告诉我们，从矢量A到矢量B所转过的角度，和从矢量B到矢量A所转过的角度，总是相等的（在走最短路径的情况下）。

　　这点就好比从A到B和从B到A的最短曲线总是等长的。

　　但，数学上的事总没那么绝对，比如在Finsler几何中，从A到B的最短曲线未必就是从B到A的最短曲线，因为在最宽泛的Finsler度量的顶一下，F(V)和F(-V)是不需要相等的，如果相等的话就叫做强Finsler几何了（对应的就说度量是强一阶齐次的，而最宽泛顶一下只需要是一阶齐次的）。

　　既然从A点到B点和从B点到A点的“距离”可以不一样，那么为何从矢量A转到矢量B和从矢量B转到矢量A所经过的角度就要一样呢？事实上我们如果做Finsler流形的单位球丛，那么球丛截面本身也是一个Finsler流形，而原本Finsler底流形的角度问题就是球丛截面上的距离问题，从而Finsler的非强一阶齐次性就等价于说从矢量A到矢量B的转角不等于从矢量B到矢量A的转角。

　　从这点来说，至少作为转动角度这个几何意义来说，为此负责的内积是非对称的。

　　站在投影的角度也是如此。简单的极值计算就能告诉我们，当度量的平方不是二次型时（此时流形就是非Riemann的Finsler流形），单位适量A到单位适量B方向的投影和B到A的投影不等长，而在二次型的情况下是等长的。

　　投影的好处是只需要度量的定义就足够了，你都不需要做球丛映射。

　　所以，无论如何，这似乎都告诉我们，在这些很具有几何意义的定义，Finsler流形中的内积是不要求对称性的。

　　这能带来什么？

　　这就是说，度规张量可以是非对称的。

　　这下就好玩了——我们把适配条件运用到非对称度规上，直接就给出了这么两组关系：

　　联络的扰率部分（扰率张量）对应于度规的非对易部分的偏微分，而联络的对称部分，其形式和前面所说的Einstein-Cartan流形的形式完全相同，一样需要在克氏符基础上增加扰率张量的共享。

　　只不过，现在我们发现扰率张量就直接对应了度规的非对易部分，而再由Einstein－Cartan场方程，我们可以合理地认为扰率张量依然只和自旋耦合——所以自旋造成了度规场的非对易性。

　　而且，和扰率－自旋的代数关系不同，扰率现在是流形上度规场的微分，所以度规非对易部分－自旋的耦合方程是一个场方程而非代数方程。

　　这就意味着，我们是可以通过检测内积来检测自旋的，而且不需要和粒子接触就行。

　　这么一来，我们原本检测Einstein－Cartan理论的方法是通过接触式的方法检测时空的平行输运性质，现在则改成了可以通过非接触式的方法来检测时空的内积与投影属性来检测EC理论——当然，严格说来是检测ECZ理论（我恬不知耻地将我自己也放在了里面），因为完全可能度规依然只能是对称的而不能是非对称的，从而扰率和度规脱耦。

　　非接触的方式如果检测下来内积和投影并无非对称性，其实最多也就是说我关于度规和扰率耦合的假设是错误的，时空流形依然是对内积对称的。

　　不过，如果真的是这样的话未免就太无聊了……

　　然后回头说说这事和Finsler几何的联系。

　　此前研究Finsler几何的时候就发现这么一个问题，那就是原本定义在流形本身（或者更严格说来是流形切丛）的内积现在改成定义在流形节丛（切丛的切丛）上了。

　　按照原本的内积定义，我们在时空给定位置的切空间中就能定义内积，而且只要给定点切丛截面选定，那么在这个点的切空间中的内积只依赖于参与内运算的矢量A和矢量B，别的应该都是作为常数存在的。

　　但在原本的Finsler几何中这点发生了改变——如果我们依然和原本的内积操作一样将视野固定在切丛上的话，我们发现矢量A和矢量B的内积依赖于“观测者”矢量C，这是不合理的。

　　虽然我们可以将内积的定义“修正”为不是定义在切丛而是定义在节丛，但这么做和我“修正”内积定义不要求内积一定要对称又有什么分别呢？大家都修改了内积的定义嘛，只不过你改了纤维丛的选择，我放弃了对称性，大家都把事情变得复杂了。

　　如果，我们一如既往地放弃内积的对称性要求，那么我们就可以很天然地得到一个非对称的内积的定义，它依赖于“投影到”的方向，也即参与内积运算的第一个矢量（或者第二个，规定好顺序就可以了）。

　　如此一来，Finsler流形天然地就具有扰率（按照此前的说明，扰率来自度规张量的非对称性，而在非对称内积定义下这是显然的）。

　　当然了，由于Finsler本身的极度恶心和复杂，即便它天然地具有扰率也不算是什么让人兴奋的事情，因为你还是没法做任何计算，因为计算实在是太恶心了。。。。。。