STOCHASTIC CALCULUS

二叉树无套利定价模型

使用二叉树是为了用股票和现金的组合来复制期权,使用的理论是无套利定价。


定理1.2.2(多时段期权复制方法)
定义:\tilde p = \frac{1+r-d}{u-d}, \tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) }
V_N为衍生证券在时刻N的支付(衍生证券的价格),每个V_n都取决于前n次抛硬币的结果,并且可以由下式倒推V_{N-1}, V_{N-2 },\cdots ,V_0
V_n(w_1 w_2 \cdots w_n) = \frac{1}{1+r}[ \ \tilde p V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) \ ]
则,设X_0 = V_0且使用X_n满足X_{n+1} = \Delta _n S_{n+1} + (1+r)(X_n - \Delta_n S_n)递归定义资产组合价值X_1, X_2, \cdots, X_N,则有:
X_N(w_1,w_2 \cdots w_N) = V_N(w_1,w_2 \cdots w_N)


第一章其实就是分析了具体的几个简单的二叉树例子,由这些例子推出了风险中性概率\tilde p, \tilde q, 并且发现\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n)的规律,然后由此引出了定理1.2.2,即按照以上发现的规律来构造二叉树模型,则可以通过股票和现金的组合复制期权,从而计算出衍生证券的价格。

抛掷硬币空间上的概率论

第二章由第一章的结论继续推进,首先根据风险中性概率测度推出贴现股票价格是一个鞅,然后推出贴现财富过程是一个鞅。


定理2.2.5 詹森(Jesen)不等式 设X为定义在有限概率空间上的随机变量,\varphi(x)为哑变量x的凸函数,则有:E[\varphi(X)] \geq\varphi(EX).

定义2.4.1 考虑二叉树资产定价模型。设M_{0}, M_{1}, M_{2}, ..., M_{N}为随机变量序列,每个M_n只依赖前n次抛掷硬币(M_0为常量)。这样的随机变量序列称为适应随机过程
若满足M_{n} = E_{n}[M_{n+1}],则这个过程为鞅;若M_{n} \geq E_{n}[M_{n+1}],这个过程为上鞅(递减趋势);若M_{n} \leq E_{n}[M_{n+1}],这个过程为下鞅(递增趋势)。

定理2.4.4 考虑一般的二叉树模型,其中0 < d < 1 + r < u,设风险中线概率如下给出:
\tilde p = \frac{1 + r - d}{u - d}, \tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}
那么在风险中性测度下,贴现股票价格过程是一个鞅,即式\frac{S_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[\frac{S_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}]在每个时刻n对任意的抛掷硬币结果序列成立。

定理2.4.5 考虑N时段的二叉树模型。设\Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{N-1}为适应过程,X_0为实数,X_0, X_1, \dots, X_N为由式
X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \Delta_nS_n), n=0,1,\dots, N-1 递归产生的财富过程,那么,贴现财富过程\frac{X_n}{(1+r)^n}, n = 0, 1, \dots, N为风险中性测度下的鞅,即:
\frac{X_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[ \frac{X_{n+1}}{(1+r)^{n+1}} ]

定理2.4.7 (风险中性定价公式) 考虑N时段二叉树资产定价模型,其中0 < d < 1 + r < u,并且存在风险中性概率测度\tilde P。设V_N是一个随机变量(衍生证券在时刻N的支付),它依赖于抛掷硬币的结果。那么,对于0到N之间的n,衍生证券在时刻n的价格由风险中性定价公式V_n = \tilde E_n[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}](其中V_n的定义和定理1.2.2中V_n的定义一致)给出。进一步,在\tilde P之下,衍生证券的贴现价格是一个鞅,即:
\frac{V_n}{(1+r)^n}=\tilde E_n[\frac{V_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}], n = 0, 1,\dots, N-1

定理2.4.8 (现金流定价) 考虑N时段二叉树资产定价模型,其中0 < d < 1 + r < u,并且存在风险中性概率测度\tilde P。设C_0,C_1,\dots, C_N为随机变量序列,其中C_n只依赖于w_1\dots w_n。在时刻n, \dots, N,相应的支付分别为C_n, \dots, C_N的衍生证券在时刻n的价格为:
V_n = \tilde E_n [\sum^N_{k=n} \frac{C_k}{(1+r)^{k-n}}], n = 0, 1, \dots, N
价格过程V_n, n = 0, 1, \dots, N满足:
C_n(w_1\dots w_n) = V_n(w_1\dots w_n) - \frac{1}{1+r}[\tilde p V_{n + 1}(w_1\dots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1\dots w_nT)]
定义:
\Delta_n(w_1 \dots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -V_{n+1}(w_1 \dots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -S_{n+1}(w_1 \dots w_nT)}
其中n在0到N-1之间变化。如果我们令X_0 = V_0,并按时间前向递归定义资产组合价值过程X_1, X_2, \dots, X_N如下:
X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1+r)(X_n - C_n - \Delta_n S_n)
则对所有nw_1 \dots w_n,我们有:
X_n (w_1 \dots w_n)= V_n(w_1 \dots w_n)

定义2.5.1 马尔可夫过程:考虑二叉树定价模型。设X_0, X_1,..., X_N为适应过程,如果对每个0N-1之间的n以及每个函数f(x),存在另一个函数g(x)(依赖于nf),使得:E_{n}[f(X_{n+1})]=g(X_n),则X_0, X_1,..., X_N是一个马尔可夫(Markov)过程。

定理2.5.8(非路径依赖衍生证券定价)X_0, X_1, \dots , X_N为二叉树模型中的风险中性概率测度\tilde P下的马尔可夫过程。设v_N(x)为一个哑变量x的函数,考虑一个在时刻N的支付为v_N(X_N)的衍生证券。那么,对于每个0到N之间的n,衍生证券的价格V_nX_n的某个函数v_n,即:
V_n = v_n(X_n), n = 0, 1, \dots , N
存在一个计算v_n的递归算法,确切的公式依赖于基本的马尔可夫过程X_0, X_1, \dots , X_N。对于多维马尔可夫过程,类似结果也成立。

引入马尔可夫过程,将衍生证券的价格和股票的价格通过函数v_n联系起来,这样做可以计算非路径依赖的衍生证券的价格。

  • 资产定价第一基本定理: 如果一个模型中存在一个风险中性测度,那么这个模型中就不存在套利。

状态价格

定理3.1.1 Radon-Nikodym导数性质P\tilde P是有限样本空间\Omega上的两个概率测度,对任意的\omega \in \OmegaP(\omega) > 0\tilde P(\omega) > 0,定义随机变量Z(\omega) = \frac{\tilde P(\omega)}{P(\omega)}。我们有:
(i) P(Z>0) = 1;
(ii) EZ = 1;
(iii) 对任意的随机变量Y,有\tilde EY = E[ZY].

定义3.1.3 状态价格密度和状态价格 P57 考虑N时段二叉树模型,设真实概率测度为P,风险中性概率测度为\tilde PZ表示\tilde P关于P的Radon-Nikodym导数,即:
Z(w_1 \dots w_N) = \frac{\tilde P(w_1 \dots w_N)}{P(w_1 \dots w_N) } = ++++++++++++

  • Radon-Nikodym导数:有限样本空间\Omega两个概率测度P, \tilde{P},则Z(w) = \frac{\tilde{P}}{P}为Radon-Nikodym导数。
  • Radon-Nikodym导数的性质:设P\tilde P是有限样本空间\Omega上的两个概率测度,对任意的w \in \Omega, P(w) > 0, \tilde P(w) >0, 定义随机变量Z(w) = \frac{\tilde{P}}{P}, 有:
    1. P(Z > 0) = 1;
    2. EZ = 1;
    3. 对任意的随机变量Y,有\tilde EY = E[ZY].

第二卷

布朗运动

  • 对称随机游动:接连抛掷一枚均匀的硬币(正面反面概率均为\frac{1}{2}),抛掷结果记为w = w_1 w_2 w_3 \dots. w_n是第n次抛掷硬币的结果,定义
    X_j = \left\{ \begin{aligned} 1, \ &如果w_j = H\\ -1, \ &如果w_j = T \end{aligned} \right.
    并且定义M_0 = 0以及M_k = \sum_{j = 1}^k X_j, k = 1, 2, \dots,则过程M_k(k = 0, 1, 2, \dots)是一个对称随机游动
    对称随机游动具有独立增量,即对于非负整数0 = k_0 < k_1 < \dots < k_m,随机变量M_{k_1} = (M_{k_1} - M_{k_0}), (M_{k_2} - M_{k_1}), \dots , (M_{k_m} - M_{k_{m-1}})是两两独立的。每个随机变量M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}} = \sum_{j = k_i+1}^{k_{i+1}}X_j称为随机变量的增量
    每个增量M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}}具有期望0和方差k_{i+1} - k_{i}.
    对称随机游动是鞅。

  • 对称随机游动的二次变差:截至时刻t的二次变差定义为:
    [M, M]_k = \sum_{j = 1}^{k} (M_j - M_{j-1})^2 = k
    (可以发现,对称随机游动的二次变差等于其方差(Var(M_k));但是,如果随机游动非对称,会影响其方差的值,从而导致其二次变差和方差不相等。)

  • 按比例缩小型对称随机游动:固定正整数n,定义:
    W^{(n)}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}
    其中,nt为正整数。(后面可以看到,研究该随机过程,主要是为了后面引出布朗运动,因为令n \rightarrow \infty,取极限,将得到一个布朗运动)

  • 定理3.2.1 (中心极限定理) 固定t \geq 0,按比例缩小型随机游动W^{(n)}(t)在时刻t取值的分布当n \rightarrow \infty时收敛于均值为0、方差为t的正态分布。(该定理的证明用到了矩母函数的概念)

  • 定理3.2.2 (对数正态分布作为二叉树模型的极限) 时刻t的股价S_n(t) = S(0)u^{H_{nt}}_{n} d_{n}^{T_{nt}} = S(0)(1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt + M_{nt})}(1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt - M_{nt})}(该式通过定义u_n = 1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}d_n = 1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}和时刻t的股价由初始股价S(0)以及前nt次硬币抛掷的结果确定,这三个条件推导而出)。
    n \rightarrow \infty时,上式中S_n(t)的分布收敛于S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2} \sigma ^ 2t}(该分布是个对数正态分布)的分布,其中W(t)是均值为0、方差为t的正态随机变量。
    个人理解,该定理的意思是,固定t,即在每一时刻下,来对W(t)S(t)的分布进行研究,即可以将t看做是常数。

  • 对数正态分布:任何形如ce^X(其中c是常数,X服从正态分布)的随机变量被称为具有对数正态分布。

  • 布朗运动(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})是概率空间。对每个\omega \in \Omega,假设存在依赖于\omega的,满足W(0) = 0的连续函数W(t) (t \geq 0)。则W(t) (t \geq 0)是一个布朗运动,如果对所有0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m,增量
    W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots , W(t_m) - W(t_{m - 1})两两独立,每个增量服从正态分布,并且
    \mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0
    Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}.
    (这里需要注意的是,布朗运动是连续的函数,但是不可导。)

  • 定理3.3.2 (布朗运动的等价刻划)(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})是概率空间。对每个\omega \in \Omega,假设存在依赖于\omega的,满足W(0) = 0的连续函数W(t) (t \geq 0),则一下三条性质等价:
    (i)对所有0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m,增量
    W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots, W(t_m) - W(t_{m - 1} )两两独立,每个增量服从正态分布,并且均值和方差由式\mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0和式Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}给出。
    (ii)对所有0 = t_0 < t_1 < \dots < t_mW(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)为联合正态随机变量,均值为0,并且协方差矩阵为xxxx.
    (iii)对所有0 = t_0 < t_1 < \dots < t_mW(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)具有联合矩母函数xxxx.
    (这个定理,只证明了(i) \rightarrow (ii),(i) \rightarrow (iii)),至于为什么(ii)\rightarrow(i)和(iii)\rightarrow(i),可能是需要了解协方差矩阵和矩母函数的相关性质。

  • 定义3.3.3W(t)(t \geq 0)是定义在概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})上的布朗运动。布朗运动的域流是满足下列条件的一族\sigma-代数F(t)(t \geq 0)
    (i) (信息积累)对于0 \leq s <t, \mathcal{F}(t)中的每一个集合也在\mathcal{F}(t)中。换言之,在较后时刻所获得的信息\mathcal{F}(t)至少包括较早时刻已获得的信息\mathcal{F}(s).
    (ii)(适应性)对每个t \geq 0,在时刻t,布朗运动W(t)\mathcal{F}(t)可测的。换言之,在时刻t所获得的信息足以确定布朗运动W(t)在该时刻的值。
    (iii) (未来增量的独立性)对于0 \geq t < u,增量W(u) - W(t)独立于\mathcal{F}(t),换言之,时刻t以后布朗运动的任何增量都与时刻t所获得的信息无关。

  • 定理3.3.4 布朗运动是鞅。

  • 定义3.4.1(连续函数二次变差的定义)f(t)是关于0 \leq t \leq T有定义的函数。截至时刻Tf二次变差为:
    [f, f](T) = \mathop{lim}\limits_{||\Pi|| \rightarrow 0}\sum\limits_{j = 0}^{n-1}[f(t_{j+1}) - f(t_j)]^2
    其中\Pi = {t_0, t_1, \dots, t_n}并且0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T.
    (如果f有连续的导数,则其二次变差为0。其证明需要用到微分中值定理。另外,定理里面对于\Pi的定义好像有问题吧……)

  • 定理3.4.3W是布朗运动,则对所有T \geq 0[W, W](T) = T几乎必然成立。
    (该定理的证明用到了均方收敛的概念,即布朗运动的二次变差Q_{\Pi} = \sum_{j=0}^{n-1}(W(t_{j+1}) - W(t_j))^2\Pi \rightarrow 0时,其期望值为T,其方差收敛于0,从而无论路径如何,它都收敛于期望值T。)
    (随机变量的各种收敛性,之间的差别??)
    由该定理可以引出:dW(t)dW(t) = dtdW(t)dt = 0dtdt= 0,书里面没有详细的证明,详细的证明应该超纲了,需要查更详细的资料。
    由于[W, W](T_2) - [W, W](T_1) = T_2 - T_1,因此,布朗运动在单位时间内累积二次变差的速率为1。

  • 几何布朗运动\alpha\sigma >0是常数,定义几何布朗运动
    S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) + (\sigma - \frac{1}{2}\sigma^2) }.
    里面的\sigma是几何布朗运动的实现波动率,即
    \frac{1}{T_2 - T_1} \sum_{j=0}^{m-1}(log \frac{S(t_{j+1})}{S(t_j)})^2\approx \sigma^2

  • 定理3.5.1W(t), t \geq 0是布朗运动,\mathcal{F}(t),t \geq 0是关于该布朗运动的域流,则W(t), t \geq 0是马尔可夫过程。
    这个定理的证明里面用到了一个转移密度的概念:
    布朗运动的转移密度p(\tau, x, y)p(\tau, x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \tau}}e^{ - \frac{(y-x)^2}{2 \tau}}.

  • 定理3.6.1(指数鞅)W(t), t \geq 0是布朗运动,\mathcal{F}(t),t \geq 0是关于该布朗运动的域流,\sigma是常数,则式
    Z(t) = e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2}\sigma^2 t}
    中的过程Z(t), t \geq 0是鞅。
    给定常数\sigma,相应于\sigma的所谓指数鞅即上式中定义的Z(t)

  • 布朗运动的首达时间m是实数,定义水平m首达时间为:\tau _m = min\{t \geq 0; W(t) = m\} 这是布朗运动W达到水平m的第一时间。

  • 定理3.6.2 对于m \in \mathbb{R},布朗运动关于水平m的首达时间几乎必然有限,并且其分布的拉普拉斯(Laplace)变换为:
    \mathbb{E} e^{-\alpha \tau_m} = e^{-|m| \sqrt{2\alpha}}, \ \forall \alpha > 0
    为啥又和拉普拉斯变换扯到一起了????没搞明白

3.7 反射原理的东西,暂时用不到(略)

随机分析

伊藤积分的作用,其实就是为了求资产组合的价值,\int_0^T \Delta(t)dW(t)中的\Delta(t)是时刻t持有资产的头寸,W(t)看做每份资产在时刻t的价格。

  • 伊藤积分 一般地,如果t_k \geq t \geq t_{k+1},则:
    I(t) = \sum_{j = 0}^{k -1}\Delta(t_j)[W(t_{j+1}-W(t_j)] + \Delta(t_k)[W(t)-W(t_k)]中的过程I(t)就是简单过程\Delta(t)(简单过程说白了就是每个时间区间里都是常数的过程)的伊藤积分,记为:
    I(t) = \int_0^T\Delta(u)dW(u)
  • 定理4.2.1 由上式定义的伊藤积分是一个鞅。
  • 定理4.2.2(伊藤等距) 上面定义的伊藤积分满足:
    \mathbb{E} I^2(t) =\mathbb{E} \int _0^T \Delta^2(u)du
  • 定理4.3.1T是正数,\Delta(t), 0 \leq t \leq T是满足式\mathbb{E}\int_0^T\Delta ^2(t)dt < \infty的适应随机过程。则I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u) = \mathop{lim}_{n \rightarrow \infty}\int_0^t\Delta_n(u)dW(u), 0 \leq t \leq T具有以下性质:
    (i) (连续性)作为积分上限t的函数,I(t)的路径连续。
    (ii)(适应性)对每个t, I(t)\mathcal{F}(t)-可测。
    (iii)(线性性)如果I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u), J(t) = \int_0^t\Gamma(u)dW(u),则I(t) \pm J(t) = \int_0^t(\Delta(u) \pm \Gamma(u))dW(u);对任意常数c, cI(t) =\int_0^t c\Delta(u) dW(u)
    (iv)(鞅性质) I(t)是鞅。
    (v)(伊藤等距) \mathbb{E}I^2(t) = \mathbb{E}\int_0^t\Delta^2(u)du
    (vi)(二次变差) [I, I](t) = \int_0^t \Delta^2(u)du
  • 定理4.4.1(关于布朗运动的伊藤-德布林公式) 设函数f(t, x)的偏导数f_t(t,x), f_x(t, x)f_{xx}(t, x)都有定义并且连续,W(t)是布朗运动,则对于每个T \geq 0,有:
    f(T, W(T)) = f(0, W(0)) + \int_0^Tf_t(t, W(t))dt + \int_0^Tf_x(t, W(t))dW(t) + \frac{1}{2}\int_0^Tf_{xx}(t, W(t))dt
    (伊藤-德布林公式的证明需要用到泰勒展开。这里需要注意,对于伊藤德布林公式的微分形式,其实并没有数学含义,因为布朗运动是不可导的,故不可微,书里面的微分形式只是为了方便计算和记忆。)
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