机器学习（6）——凸优化理论(一)

概述

凸优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。凸优化在某种意义上说较一般情形的数学最优化问题要简单，譬如在凸优化中局部最优值必定是全局最优值。
下一个并不严谨的定义，凸优化就是在标准优化问题的范畴内，要求目标函数和约束函数是凸函数的一类优化问题。
可以说，机器学习几乎所有算法都会涉及到凸优化理论，即使是一个非凸优化问题，可以通过数学的等价变换编程一个凸优化问题进行解决。
一旦我们将一个问题转换成或者说表示成了凸优化，这个问题就已经得到了解决。可以见得，凸优化在数学领域，是如此的重要，同时在机器学习里面，他也是一个具有成熟求解方法的问题，而其他优化问题未必。

推荐书籍：《凸优化》(Stephen Boyd著，王书宁等译)

凸优化的基本体系

凸优化知识体系主要由以下几个组成：

凸集： 定义目标函数和约束函数的定义域。
凸函数： 定义优化相关函数的限制。
凸优化： 中心内容的标准描述。
凸优化问题求解： 本文的重点，相关算法。
对偶问题： 将一般问题转换为凸优化问题的有效手段，求解凸优化问题的有效方法。

标准优化问题

标准优化问题例如下式：
$\begin{matrix} min& \qquad f_0(x) \\s.t. \qquad &f_i(x)\leq 0, \qquad i=1,\dots ,m \\ \qquad &h_i(x) = 0, \qquad i=1,\dots ,n \end{matrix}$
表示在所有满足 $f_i(x)\leq 0,i=1,\dots m \wedge h_i(x)=0,i=1,\dots,p$ 的 $x$ 中找出使 $f_0(x)$ 最小的 $x$ 。
这里， $x\ni R^n$ ,函数 $f_0:R^n\rightarrow R$ 称为目标函数，相应的 $f_i:R^n\rightarrow R i=1,\dots m$ 成为不等式约束，方程组 $h_i(x)=0$ 称为等式约束。假设 $m=n=0$ 则称为无约束问题。
对目标和所有约束函数有定义点的集合(定义域)
$\chi=\bigcap_{i=0}^mdomf_i\cap\bigcap_{j=1}^pdomh_j$

凸优化问题

$\begin{matrix} min &\qquad f_0(x) \\s.t. \qquad &f_i(x)\leq 0, \qquad i=1,\dots ,m \\ \qquad &a^T_ix = b_i, \qquad i=1,\dots ,n \end{matrix}$
这里面， $f_i(x)\leq 0, i=1,\dots ,m$ 是一个凸函数，这种优化问题就称为凸优化问题。
对比标准优化问题，也就是说，目标函数和不等式约束为凸函数，等是约束是仿射函数的优化问题就是凸优化问题。

睡觉啦，明天更新

Reference

《凸优化》——Stephen Boyd著，王书宁等译

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