我们对三角形的定义是三条线段首尾相连围成的封闭图形，三角形的角有很多的性质，比如说三角形内角和为180度，三角形的一个外角等于两个不相邻的两个内角和。三角形边的性质有三角形任意两边之和大于第三遍，三角形任意两边之差小于第三边。我们可以发现对于三角形边的性质的描述是比较抽象的，没有准确的数量关系，那三角形的三条边有某种准确的数量关系吗？接下来我们就需要去探索，但是去探索一般的三角形的三边关系有些困难，所以我们就从直角三角形开始
其实挑战单上的这道题就是在引导我们猜测直角三角形的两个直角边和斜边有某种准确的数量关系，但是到底是怎样的数量关系呢？还是需要我们去一步步的探索。我们先从比较特殊的直角三角形入手，也就是一个直角边分别为3和4的直角三角形，我们用尺子量可以得到它的斜边等于5，我们可以发现这个直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方，那么我们就有一个疑问在任意的直角三角形中，他的直角边的平方和等于斜边的平方吗？这时候我们就需要先去验证我们的这个猜想。
我们借助方格纸，也就是先从特例开始，再通过一些几何变换也就是割补变换来验证了我们的猜想。
那其实a方也就等于他旁边边长为a的小正方形的面积，所以只要我们证明出了这两个小正方形的面积加起来等于那个大正方形的面积，我们就证明出了在直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。通过割补变换我们知道了两个小正方形的面积等于9，大正方形的面积等于18，9+9等于18，所以我们就成功的验证了我们的猜想。
那如果直角三角形的直角边为小数呢，他是否还满足我们的猜想，其实是满足的。因为比如说如果前面，我们直角三角形边的长度是以1为单位长度的那么这里，我们只要把单位长度变成0.1就可以同样解决这个问题。
那么我们现在的猜想能作为定理吗？其实是不能因为我们证明的都是一些特例，它的边长是一个确定的数，所以他不具有一般性。
那么在前面我们通过割补变化来验证我们的猜想，让我们在这里还是可以通过这样的几何变换来证明我的猜想。我们就以补的方法来举例，证明过程如下。
当然，我们现在用的是补的方法还有割的方法，这里就不举例了，除了用割补的方法来证明勾股定理还有其他的一些方法，比如说美国总统加菲尔德用下图证明的勾股定理
这种方法证明过程在上面，我也不细讲了
那么勾股定理我们现在就知道了，就是在一个直角三角形中，如果他的角C等于90度的话他就满足a方加b方。那么我们有一个猜测，如果我们已知三角形的三边长abc并且他满足a方加b方等于c方，那么这个三角形是一个直角三角形吗？
我们首先就要验证我们的猜想，我们先从特例开始，也就是相当于他的两个直角边等于5和12它的斜边等于13，这三个数是一组勾股数，那么我们再构造出一个直角三角形，它的两个直角边等于5和12，我们通过勾股定理可以求出它的斜边等于13。那么这就验证了我们的猜想，如果一个直角三角形的三边满足a方加b方等于c方的关系，那么它就是一个直角三角形，但是他现在还不能作为一个定理，我们还是需要通过严谨的逻辑证明才能将它变成一个定理
我现在的思路是我构造出，一个直角三角形这个直角三角形的两条直角边和我们已知的三角形的两个边是相等的，那么，如果我们证明了这两个三角形是全等的那么我们也就知道了，原先的那个三角形的一个角是直角，他就是一个直角三角形。证明过程如下。
文字语言来描述勾股定理的逆定理，也就是如果三角形的两边平方和是第三边的平方，那么这个三角形是一个直角三角形。从字面意思上来看我们就可以知道勾股定理和勾股定理的逆定理是互逆的。
我们学到了勾股定理就是需要去应用，我们可以想到其实在探索全等三角形的时候，我们发现S S A可以在直角三角形中使用，但是我们通过勾股定理也可以发现，如果一个直角三角形，它的直角边和斜边分别相等那么这两个直角三角形也全等，我们就是需要通过勾股定理来证明就好。
现在我们知道了另外一个判断三角形全等的方法，但是这个方法只适用于直角三角形我们称它为HL
当我们通过勾股定理来求一个边的长度的时候，可能会用到根号，就比如说我们知道在一个直角三角形中，两个直角边等于5和12那它的斜边就等于5的平方+12的平方等于169。169的平方根就等于这个斜边，也就是13。那么相当于他现在就在指向未来，我们可能会在实数那一章来探索根号。
在探索完勾股定理这一章的时候，我认为我最大的突破就是从猜想到定理这个证明过程更加的有逻辑，而且我也在尝试理解，每一道挑战单上的题他背后都有什么意义，而不只是去关注那个结果那个定理。
